\begin{align} \end{align}

Směrnicový a úsekový tvar rovnice přímky

Mimo parametrické a obecné rovnice přímky se používají ještě další vyjádření. Jsou to směrnicový a úsekový tvar rovnice přímky. Narozdíl od parametrické a obecné rovnice neumožňují vyjádřit všechny přímky, a proto se až tolik nevyužívají. Je ale důležité je znát a vědět, jaké mají výhody a nevýhody.

Směrnicový tvar rovnice přímky

Jak je vidět z následující definice, směrnicový tvar rovnice přímky je vlastně předpisem funkce proměnné x. Z toho plyne jisté omezení, které si později ukážeme.

Definice

Rovnice
y = kx + q; k, q ∈ realne cislo,
se nazývá směrnicový tvar rovnice přímky. Číslo k se nazývá směrnice přímky.

Poznámka

Směrnice přímky p vyjadřuje tangens odchylky φ vektorů e = (1; 0) a u = (u1; u2), kde u je libovolný směrový vektor přímky p, jehož souřadnice u2 > 0.

Obr. 3.12: Směrnice přímky
Obr. 3.12: Směrnice přímky

Směrnicový tvar přímky neumožňuje popsat ty přímky, které jsou rovnoběžné s osou y. Protože směrnice vyjadřuje tangens úhlu a tangens 90° není definován, není pro takovou přímku definována ani směrnice, a nemůžeme ji tudíž vyjádřit.

Věta

Dvě přímky jsou spolu rovnoběžné právě tehdy, když jsou různoběžné s osou y a jejich směrnice jsou totožné nebo pokud jsou obě rovnoběžné s osou y.

zobraz důkaz
Poznámka

Jestliže dvě přímky mají stejnou směrnici, pak jsou rovnoběžné.

Věta

Jestliže přímka p má nenulovou směrnici k a přímka q je na ni kolmá,
pak směrnice přímky q je rovna \(\dfrac{1}{k}\).

zobraz důkaz

Úsekový tvar rovnice přímky

Mějme na souřadnicových osách dány body P[p; 0] a Q[0; q], které jsou různé od počátku. Přímka PQ má potom rovnici:

\(\dfrac{x}{p} + \dfrac{y}{q} = 1\).

Definice
Rovnice  \(\dfrac{x}{p} + \dfrac{y}{q} = 1; p \cdot q \ne 0, p, q \in R\) se nazývá úsekový tvar rovnice přímky.

Z úsekového tvaru rovnice přímky tedy můžeme velmi jednoduše vyčíst průsečíky přímky se souřadnicovými osami nebo naopak z průsečíků se souřadnicovými osami můžeme snadno zjistit rovnici přímky, která osy v daných bodech protíná.

Obr. 3.13: Průsečíky přímky se souřadnicovými osami
Obr. 3.13: Průsečíky přímky se souřadnicovými osami
Poznámka

Rovnici přímky v úsekovém tvaru lze psát právě tehdy, když přímka není rovnoběžná s žádnou souřadnicovou osou a neprochází počátkem.

Příklad 3.18

Je-li to možné, najděte pro přímku AB, kde A[0; 3], B[6; 0] parametrické vyjádření, obecnou rovnici, směrnicový a úsekový tvar její rovnice.

Řešení
  • Směrový vektor přímky AB: u = B - A = (6; -3).
  • Normálový vektor přímky AB: n = (3; 6).
  • Parametrická rovnice
    x = 6t,
    y = 3 - 3t; t ∈ realne cislo.
  • Obecná rovnice
    3x + 6y + c = 0,
    po dosazení souřadnic bodu A získáme c = -18 a obecná rovnice přímky AB je
    3x + 6y - 18 = 0, což můžeme zapsat jako:
    x + 2y - 6 = 0.
  • Směrnicový tvar
    y = kx + q,
    po dosazení souřadnic bodů A a B do směrnicového tvaru rovnice získáme soustavu dvou rovnic o dvou neznámých:
    3 = 0k + q,
    0 = 6k + q.
    Z první rovnice můžeme vyjádřit q = 3 a dosadit do rovnice druhé. Řešením je potom k = -1/2 a q = 3. Směrnicový tvar rovnice přímky AB vypadá takto:
    \(y = \dfrac{-x}{2} + 3\).
  • Úsekový tvar
    Protože ze zadání známe průsečíky se souřadnicovými osami, můžeme úsekový tvar rovnou zapsat jako:
    \(\dfrac{x}{6} + \dfrac{y}{3} = 1\).