Vzájemná poloha paraboly a přímky
V rovině mohou nastat tři různé vzájemné polohy paraboly L a přímky p: nemají žádný společný bod, mají jeden společný bod nebo mají dva společné body.
- p ∩ L = ∅
Přímka p leží vně paraboly L a nazýváme ji vnější přímka paraboly. - p ∩ L = {P}
Přímka p má s parabolou L právě jeden společný bod, bod P.
- Pokud je přímka p různoběžná s osou o paraboly, nazýváme ji tečnou paraboly L.
- Pokud je přímka p rovnoběžná s osou o paraboly L, tečnou ji nenazýváme.
- Pokud je přímka p různoběžná s osou o paraboly, nazýváme ji tečnou paraboly L.
- p ∩ L = {X, Y} Přímka parabolou prochází a protíná ji v bodech X a Y. Přímku p nazýváme sečnou paraboly L.
Najděte společné body přímky 2x - y + 5 = 0 a paraboly (y - 3)2 = 2(x - 1).
- Budeme postupovat podobně jako když jsme hledali společné body přímky a elipsy. Z rovnice přímky nejprve vyjádříme y = 2x + 5 a dosadíme do rovnice paraboly:
(2x + 5 - 3)2 = 2(x - 1). - Hledáme řešení kvadratické rovnice
(2x + 2)2 = 2x - 2.
Počet řešení určí vzájemnou polohu přímky a parabol. Navíc získáme jednu ze souřadnic hledaných průsečíků.
4x2 + 8x + 4 = 2x - 2,
4x2 + 6x + 6 - 0,
2x2 + 3x + 3 = 0. - Diskriminant této rovnice je:
D = 32 - 4⋅2⋅3 = 9 - 24 = -15.
Rovnice nemá žádné řešení, a proto můžeme říci, že zadaná přímka a parabola nemají žádný společný bod, přímka je vnější přímkou paraboly.
Je dána parabola L: (y - 1)2 = -4x a přímka r: -x + 2y + 2 = 0. Určete jejich vzájemnou polohu a společné body, pokud existují.
- Budeme postupovat podobně, jako v příkladě 5.15. Z rovnice přímky vyjádříme x = 2y + 2 a dosadíme do rovnice paraboly:
(y - 1)2 = -4(2y + 2),
y2 - 2y + 1 + 8y + 8 = 0,
y2 + 6y + 9 = 0. - Diskriminant této rovnice je:
D = 62 - 4⋅1⋅9 = 0.
Z nulového diskriminantu plyne, že parabola a přímka mají právě jeden společný bod T. Jeho y-ová souřadnice je řešením kvadratické rovnice y2 + 6y + 9 = 0, y = -3. Dosazením za y do x = 2y + 2 spočítáme x-ovou souřadnici bodu T:
x = 2⋅(-3) + 2 = -4,
T[-4; -3]. - Bod T je jediným společným bodem přímky a paraboly. Je třeba určit, zda r je tečnou paraboly L, tj. zda r × o, kde o je osa paraboly L. Zjistíme to z normálového vektoru vektoru přímky r. Pokud by byl kolmý na osu o paraboly, pak by přímka r byla s osou o paraboly L rovnoběžná a nebyla by tečnou. Nebude-li tomu tak, můžeme říci, že přímka r je tečnou paraboly L.
nr = (-1; 2) je normálový vektor přímky r. Protože parabola L má osu rovnoběžnou s osou x, má směrový vektor například u = (0; 1).
Vypočítáme skalární součin vektorů u a nr:
u⋅nr = (-1)⋅0 + 2⋅1 = 2. - Skalární součin je nenulový, vektory u a nr nejsou navzájem kolmé a přímka r je tedy tečnou paraboly L. Totéž zjistíme i z obr. 5.18.
Obr. 5.18: Obrázek k příkladu
Rovnice
(x0 - m)(x - m) = ±p(y0 - n) ± p(y - n); p > 0, resp. (y0 - n)(y - n) = ±p(x0 - m) ± p(x - m); p > 0,
je rovnicí tečny k parabole s rovnicí
(x - m)2 = ±2p(y - n); p > 0, resp. (y - n)2 = ±2p(x - m); p > 0,
v bodě X0[x0; y0].
Parabola je dána řídicí přímkou x = -1 a ohniskem E[3; -1]. Napište rovnici tečny této paraboly v jejím bodě T[9; 7].
- Rovnici tečny paraboly v nějakém bodě můžeme snadno vyjádřit, známe-li vrcholovou rovnici dané paraboly. Zadaná parabola má osu rovnoběžnou s osou x. Vzdálenost její řídicí přímky od ohniska je rovna 4 a souřadnice vrcholu paraboly jsou V[1; -1]. To vše můžeme zjistit ze zadaných souřadnic ohniska a řídicí přímky. Rovnici paraboly pak zapíšeme jako:
(y - (-1))2 = 2⋅4(x - 1),
(y + 1)2 = 8(x - 1). - Tečna v bodě T[9; 7] má podle předchozí věty rovnici:
(y + 1)(7 + 1) = 4(x - 1) + 4(9 - 1),
8y + 8 = 4x - 4 + 32,
-4x + 8y - 20 = 0,
x - 2y + 5 = 0.
Najděte řídicí přímku a ohnisko paraboly, která je zadána rovnicí x2 + 4x - 4y + 16 = 0. Určete vzájemnou polohu a případné průsečíky této paraboly s přímkou 3x - y + 1 = 0.
