Analytická geometrie

---

Nejprve ukážeme, že zadaná rovnice je rovnice přímky procházející bodem X0. Poté budeme hledat průsečíky této přímky se zadanou elipsou a dokážeme, že průsečík je jen jeden. Nutně jím musí být bod X0. Přímka je tedy tečna elipsy v bodě X0.
Rovnice
\(\dfrac{(x_{0} - m)(x - m)}{a^{2}} + \dfrac{(y_{0} - n)(y - n)}{b^{2}} = 1\), \(\dfrac{(x - m)^{2}}{a^{2}} + \dfrac{(y - n)^{2}}{b^{2}} = 1\) pro další výpočty upravíme na
b2(x0 - m)(x - m) + a2(y0 - n)(y - n) = a2b2,
b2(x - m)2 + a2(y - n)2 = a2b2.
První z nich je rovnice přímky, protože buď b2(x0 - m) ≠ 0 nebo a2(y0 - n) ≠ 0.
Dokazujeme, že přímka b2(x0 - m)(x - m) + a2(y0 - n)(y - n) = a2b2 je tečnou elipsy b2(x - m)2 + a2(y - n)2 = a2b2 v bodě X0[x0; y0].
Dosadíme-li do rovnice přímky souřadnice bodu X0, získáme b2(x0 - m)(x0 - m) + a2(y0 - n)(y0 - n) = a2b2. Tato rovnost platí, protože bod X0 je bodem elipsy, tedy b2(x0 - m)2 + a2(y0 - n)2 = a2b2. Bod X0 je tedy bodem zadané přímky.
Z rovnice přímky teď vyjádříme (x - m):
\((x - m) = \dfrac{a^{2}b^{2} - a^{2}(y_{0} - n)(y - n)}{b^{2}(x_{0} - m)}\). Vyjádřené (x - m) z rovnice přímky dosadíme do rovnice elipsy. Počet řešení kvadratické rovnice, kterou po dosazení získáme, je i počet průsečíků naší přímky a elipsy.
\(b^{2}\left(\dfrac{a^{2}b^{2} - a^{2}(y_{0} - n)(y - n)}{b^{2}(x_{0} - m)}\right)^{2} + a^{2}(y - n)^{2} = a^{2}b^{2}\)
(a2b2 - a2(y0 - n)(y - n))2 + a2b2(y - n)2 + a2b2(y - n)2(x0 - m)2 = a2b4(x0 - m)2,
a4b4 - 2a4b2(y0 - n)(y - n) + a4(y0 - n)2(y - n)2 + a2b2(y - n)2(x0 - m)2 = a2b4(x0 - m)2.
Provedeme substituci, která neovlivní počet řešení, ale zpřehlední další zápis:
t = y - n.
Získáme:
a4b4 - 2a4b2(y0 - n)t + a4(y0 - n)2t2 + a2b2(x0 - m)2t2 = a2b4(x0 - m)2,
t2(a4(y0 - n)2 + a2b2(x0 - m)2) + t(-2a4b2(y0 - n)) + a4b4 - a2b4(x0 - m)2 = 0.
Z diskriminantu D určíme počet řešení a následně i počet průsečíků:
D = 4a8b4(y0 - n)2 - 4(a4(y0 - n)2 + a2b2(x0 - m)2)(a4b4 - a2b4(x0 - m)2) = 4a8b4(y0 - n)2 - 4a8(y0 - n)2b4 - 4a6b6(x0 - m)2 + 4a6b4(y0 - n)2(x0 - m)2 + 4a4b6(x0 - m)4 = 4a4b4(x0 - m)2(-a2b2 + a2(y0 - n)2 + b2(x0 - m)2).

Poslední závorka je jen jinak zapsaný výraz b2(x0 - m)2 + a2(y0 - n)2 - a2b2, který je roven 0. Vyjadřuje totiž rovnici elipsy po dosazení souřadnic bodu X0. Diskriminant je tedy roven 0 a rovnice má právě jedno řešení.
Tím jsme dokázali, že zkoumaná přímka a elipsa mají právě jeden společný bod, tj. přímka je její tečnou. Společným bodem je bod X0, proto je daná přímka tečnou elipsy v bodě X0.