Upozornění: Tato stránka se týkala přednášky v letním semestru 2015/2016. Odkaz na aktuální přednášku hledejte na domovské stránce.
Aktuálně
- Byl vypsán poslední termín zkoušky v pondělí 26. září od 9:00 hod. v učebně K1.
- K dispozici je tabulka s výsledky domácích úloh.
- Pro představu o rozsahu a obtížnosti zkoušky je k nahlédnutí vzorový test.
- Pokud jste nenasbírali dostatečný počet bodů z úkolů k udělení zápočtu, máte šanci získat chybějící body vyřešením opravných úloh. Více informací je v části o zápočtu.
Základní informace
Sylabus a základní informace vizte popis předmětu ve Studijním informačním systému. Náplň kurzu budou tvořit:
- základní konstrukce a pojmy související s obecnými algebraickými strukturami (zejména jde o homomorfismy a faktoralgebry),
- teorie těles (rozšíření těles, algebraický uzávěr, konečná tělesa),
- Galoisova teorie a její použití na řešení klasických problémů (neřešitelnost polynomů stupně alespoň 5, konstrukce kružítkem a pravítkem).
Látka je zhruba pokryta kapitolami II, V a VI skript Davida Stanovského.
Rozvrh (k nalezení též v SISu):
- přednáška v pondělí v 9:00-10:30 hod. v místnosti K1,
- cvičení ve středu v 14:00-14:45 hod. v místnosti K3 (cvičící J. Šaroch),
- cvičení ve středu v 14:50-15:35 hod. v místnosti K3 (cvičící J. Šaroch),
- cvičení ve čtvrtek v 10:40-11:25 hod. v místnosti K12 (cvičící J. Sýkora),
- cvičení ve čtvrtek v 11:30-12:15 hod. v místnosti K12 (cvičící J. Sýkora).
Konzultace se domlouvají individuálně.
Zkouška
Zkouška bude mít dvě části: písemnou a ústní. Ústní část nemusí absolvovat studenti, kteří jsou spokojeni s hodnocením písemné části. Požadavkem jsou jak znalosti, tak porozumění tématu, hodnotí se také korektní matematický zápis. Podrobnější rozpis zkoušené látky je v tabulce níže.
Písemná část trvá 90 minut a je hodnocena maximálně 100 body. Z toho max. 85 bodů je za samotný test a max. 15 bodů za domácí úlohy (u předtermínu se počítají 4 nejlepší série z 5 do té doby zadaných). K úspěšnému složení zkoušky je třeba aspoň 60 bodů.
Pro lepší představui o rozsahu a obtížnosti zkoušky je k dispozici je vzorový test. Na předtermínu ze zkouší vše do věty 92 včetně (o tom, že rozkladová mezitělesa odpovídají normálním podgrupám Galoisovy grupy) i s důkazy.
Termíny zkoušek jsou vypsány, je možné se přihlašovast pomocí SISu. Případné ústní přezkoušení se koná ve stejné dny jako testy, čas upřesním (zájemci ať mě, prosím, kontaktují po e-mailu).
Vypsané termíny:
- úterý 17. května od 14:00 hod. v učebně K1 (předtermín, odkaz do SISu),
- pátek 3. června od 9:00 hod. v učebně K1 (odkaz do SISu),
- úterý 14. června od 9:00 hod. v učebně K1 (odkaz do SISu),
- středa 29. června od 14:00 hod. v učebně K1 (odkaz do SISu).
- pondělí 26. září od 9:00 hod. v učebně K1 (odkaz do SISu).
Zápočet
Zápočet bude udělen za domácí úlohy, které budou ob týden v pondělí odpoledne zveřejňovány na této stránce v sekci probrané látky. Termín odevzdání je do pondělí za 14 dní do 10:30 hod. Řešení odevzdávejte do bílé schránky u vchodu na Katedru algebry (preferovaná varianta), případně přednášejícímu osobně nebo elektronicky e-mailem ve formátu PDF. Výsledky zveřejňovány na webu pod Vaší přezdívkou.
Z každé série úloh je možné získat 15 bodů. Celkem bude 6 sérií, počítá se 5 nejlepších. Celkem tedy můžete získat 75 bodů, k udělení zápočtu je třeba 50 %. Domácí úlohy též tvoří 15 % bodů z písemné části zkoušky.
Úlohy je možné konzultovat se spolužáky. Řešení ovšem musí sepsat každý sám.
Pokud se výjimečně stane, že nenasbíráte dostatečný počet bodů z úkolů k udělení zápočtu, máte šanci získat chybějící body vyřešením opravných úloh. Tyto body se ke zkoušce nepočítají a řešení je nutné odevzdat zhruba do poloviny září. Pokud budete tuto možnost využívat, kontaktujte mě, prosím.
Co bylo probráno a domácí úlohy
Zde bude aktualizován seznam probrané látky po jednotlivých přednáškách a zadané domácí úlohy.
Datum | Bylo probráno | Zdroj | Úlohy |
---|---|---|---|
22. 2. | Působení grupy na množině, pevné body, stabilizátory, orbity, Burnsideova věta. |
skripta, kap. 19, text o grupách, kap. 3.2 a 3.3 |
domácí úlohy |
29. 2. | Obecné algebry daného typu (s danou signaturou), podalgebry a jejich průniky a sjednocení, homomorfismy, isomorfismy a isomorfní algebry. |
skripta, kap. 12.1, 12.2, 12.4 a 12.5, text o algebrách, kap. 1.1, 1.2 a 2 |
|
7. 3. | Jádro a obraz homomorfismu, skládání homomorfismů, generátory podalgeber, direktní součiny algeber, invarianty a rozhodování (ne)isomorfnosti algeber. |
skripta, kap. 12.2-12.5, text o algebrách, kap. 1.2, 1.3, 2.1 a 2.2 |
domácí úlohy |
14. 3. | Kongruence v obecných algebrách, faktorizace algeber, svaz kongruencí na dané algebře, věta o homomorfismu a 1. a 2. věta o isomorfismu. |
skripta, kap. 24.1, text o faktoralgebrách, kap. 1 |
|
21. 3. | Faktorokruhy a ideály, faktorgrupy a normální podgrupy. |
skripta, kap. 18.2, 22, 23 a 24.2, text o faktoralgebrách, kap. 2 a 3.1 |
domácí úlohy |
4. 4. | Rozšíření těles a jejich stupeň, konečná a algebraická rozšíření, minimální polynom algebraického prvku, vztahy [T(a):T] = deg ma,T a [U:T] = [U:S]·[S:T]. | skripta, kap. 25 | domácí úlohy |
11. 4. | Charakterizace konečných rozšíření těles, nemožnost některých konstrukcí pomocí pravítka a kružítka. | skripta, kap. 25 a 26 | |
18. 4. | Kořenová a rozkladová nadtělesa polynomu, jejich existence a (za vhodných předpokladů) jednoznačnost. Pomocná tvrzení o pro Galoisovu teorii. |
skripta, kap. 27.1, text o Galoisově teorii, kap. 1.1 |
domácí úlohy |
25. 4. | Algebraicky uzavřená tělesa, základní věta algebry (bez důkazu), algebraický uzávěr a jeho popis pro těleso racionálních čísel, existence a jednoznačnost algebraického uzávěru obecně. |
skripta, kap. 27.2, text o Galoisově teorii, kap. 1.2 |
|
2. 5. | Konečná tělesa, věta o jednoduchosti konečných rozšíření těles T charakteristiky 0 (tj. že tato jsou tvaru T(a)). |
skripta, kap. 28, text o Galoisově teorii, kap. 2 |
domácí úlohy |
9. 5. | Galoisovy grupy rozkladových nadtěles jako podgrupy permutačních grup, vztah stupně rozšíření rozkladového nadtělesa v charakteristice 0 a řádu Galoisovy grupy (vzorce |Gal(S/T)| = [S:T] a |H| = [S:SH]), bijekce mezi podgrupami Gal(S/T) a mezitělesy T ⊆ U ⊆ S (důkaz příště). | text o Galoisově teorii, kap. 2 | |
16. 5. | Důkaz hlavní věty Galoisovy teorie (bijekce mezi podgrupami Gal(S/T) a mezitělesy T ⊆ U ⊆ S), normální podgrupy navíc odpovídají rozkladovým mezitělesům, řešitelnost polynomů v radikálech a pojem řešitelné grupy, charakterizace řešitelnosti v radikálech (důkaz jedné z implikací příště). | text o Galoisově teorii, kap. 2 | |
23. 5. | Cardanovy vzorce a vztah s rozšířeními těles, řešitelné grupy a jejich základní vlastnosti, primitivní odmocniny z jedné a Galoisovy grupy rozkladových nadtěles polynomů tvaru xn - 1 a xn - a, nedokončený důkaz faktu, že rozkladové nadtěleso polynomu řešitelného v radikálech má řešitelnou Galoisovu grupu (k dočtení v kap. 2.3 v textu o Galoisově teorii). | text o Galoisově teorii, kap. 2 |
Literatura
Základním zdrojem jsou skripta D. Stanovského, kde jde pro účely přednášky hlavně o kapitoly II, V a VI, a látku doplňuje připravovaná sbírka úloh:
- D. Stanovský, Základy algebry, Matfyzpress, 2010,
- D. Stanovský, Příklady z algebry. [PDF ke stažení]
K dispozici jsou též aktualizované texty od D. Stanovského, které skripta doplňují a více odpovídají řazení témat na přednášce:
- D. Stanovský, Obory polynomů a kvadratická rozšíření celých čísel. [PDF ke stažení]
- D. Stanovský, Úvod do teorie grup. [PDF ke stažení]
- D. Stanovský, Základní algebraické konstrukce. [PDF ke stažení]
- D. Stanovský, Faktoralgebry. [PDF ke stažení]
- D. Stanovský, Galoisova teorie. [PDF ke stažení]
Existuje i řada pěkných učebnic v angličtině, např.
- J. J. Rotman, A First Course in Abstract Algebra: With Applications, Pearson Prentice Hall, 3. vyd., 2006 (2 ks v knihovně),
- L. Rowen, Algebra: Groups, Rings, and Fields, Taylor & Francis, 1995. [On-line ke stažení]
Algoritmus pro výpočet Galoisovy grupy rozkladových nadtěles polynomů třetího a čtvrtého stupně je popsán v článku
- K. Conrad, Galois groups of cubics and quartics (not in characteristic 2). [PDF ke stažení]
On-line jsou k dispozici i texty kolegů z katedry, jejich náplň se ale od náplně přednášky často liší: Robert Bashir, Jan Trlifaj, Aleš Drápal, Jan Žemlička.