Algebra I (NMAG201) - informace k úvodní přednášce z algebry pro obecnou matematiku a matematické metody informační bezpečnosti v zimním semestru 2015/2016.

Upozornění: Tato stránka se týkala přednášky v zimním semestru 2015/2016. Odkaz na aktuální přednášku hledejte na domovské stránce.

Aktuálně

  • Byl vypsán poslední termín zkoušky v úterý 13. září od 14:00 hod. v učebně K3.
  • K dispozici je tabulka s průběžnými výsledky domácích úloh.

Základní informace

Sylabus a základní informace viz popis předmětu ve Studijním informačním systému. Obsah kurzu tvoří úvod do dvou klasických témat, na kterých staví řada dalších přednášek:

  1. teorie dělitelnosti (s důrazem na číselné obory a obory polynomů),
  2. teorie grup (s důrazem na permutační a cyklické grupy).

Látka je zhruba pokryta kapitolami I a III skript Davida Stanovského.

Rozvrh (k nalezení též v SISu):

  • přednáška ve středu ve 14:00-15:30 hod. v místnosti K1,
  • cvičení ve středu v 15:40-16:25 hod. v místnosti K4 (cvičící J. Šaroch),
  • cvičení ve středu v 16:30-17:15 hod. v místnosti K4 (cvičící J. Šaroch),
  • cvičení ve čtvrtek v 15:40-16:25 hod. v místnosti K7 (cvičící J. Sýkora),
  • cvičení ve čtvrtek v 16:30-17:15 hod. v místnosti K7 (cvičící J. Sýkora).

Konzultace se domlouvají individuálně.

Zkouška

Zkouška bude mít dvě části: písemnou a ústní. Ústní část nemusí absolvovat studenti, kteří jsou spokojeni s hodnocením písemné části. U obou částí se budou zkoušet příklady i teorie. Požadavkem jsou jak znalosti, tak porozumění tématu, hodnotí se také korektní matematický zápis. Podrobnější rozpis zkoušené látky je v tabulce níže.

Písemná část trvá 150 minut a je hodnocena maximálně 100 body. Z toho max. 85 bodů je za samotný test a max. 15 bodů za domácí úlohy (u předtermínu se počítají 4 nejlepší úlohy z 5 do té doby zadaných). K úspěšnému složení zkoušky je třeba aspoň 60 bodů.

K dispozici je vzorový test z minulého akademického roku. Otázky pochopitelně budou upraveny podle toho, co přesně bude probráno na přednáškách v tomto semestru.

Termíny zkoušek jsou vypsány a přihlašovast se je možné pomocí SISu. Případné ústní přezkoušení se koná ve stejné dny jako testy, čas upřesním (zájemci ať mě, prosím, kontaktují po e-mailu).

Vypsané termíny:

  1. pátek 8. ledna od 16:00 hod. v učebně K1 (předtermín, odkaz do SISu),
  2. středa 20. ledna od 9:00 hod. v učebně K6 (odkaz do SISu),
  3. čtvrtek 4. února od 14:30 hod. v učebně K1 (odkaz do SISu),
  4. pondělí 8. února od 14:00 hod. v učebně K6 (odkaz do SISu).
  5. středa 29. června od 14:00 hod. v učebně K1 (odkaz do SISu).
  6. úterý 13. září od 14:00 hod. v učebně K3 (odkaz do SISu).

Zápočet

Zápočet bude udělen za domácí úlohy, které budou ob týden ve čtvrtek dopoledne zveřejňovány na této stránce v sekci probrané látky. Termín odevzdání je do středy za 14 dní do 15:30 hod. Řešení odevzdávejte do bílé schránky u vchodu na Katedru algebry (preferovaná varianta), případně přednášejícímu osobně nebo elektronicky e-mailem ve formátu PDF.

Na první řešení napište přezdívku, pod kterou budou výsledky zveřejňovány na webu.

Z každé série úloh je možné získat 15 bodů. Celkem bude 6 sérií, počítá se 5 nejlepších. Celkem tedy můžete získat 75 bodů, k udělení zápočtu je třeba 50 %. Domácí úlohy též tvoří 15 % bodů z písemné části zkoušky.

Úlohy je možné konzultovat se spolužáky. Řešení ovšem musí sepsat každý sám.

Co bylo probráno a domácí úlohy

Zde bude aktualizován seznam probrané látky po jednotlivých přednáškách a zadané domácí úlohy.

Datum Bylo probráno Zdroj Úlohy
7. 10. Základní věta aritmetiky (opakování), kongruence, Eulerova věta (důkaz příště). skripta, kap. 3.1 - 3.4 domácí úlohy
13. 10. Důkaz Eulerovy věty, Čínská věta o zbytcích, definice komutativních okruhů, oborů integrity a těles. skripta, kap. 3.4 - 4.1  
21. 10. Důsledky definice komutativních okruhů, okruhy polynomů a formálních mocninných řad a jejich vlastnosti, hodnota polynomu v bodě, kořeny a dělitelnost, věta o interpolaci polynomů (důkaz příště). skripta, kap. 4.1 - 4.2, 10.1 a 10.6,
text o polynomech, kap. 2.1, 2.2, 2.4 a 2.6 		domácí úlohy
4. 11. Důkaz věty o interpolaci polynomů, dělení polynomů se zbytkem, formální derivace polynomu a její základní vlastnosti, charakteristika okruhu, souvislost derivace a násobnosti kořenů (důkaz příště). skripta, kap. 10.1, 10.6 a 11.1,
text o polynomech, kap. 2.3, 2.5 a 2.6 		domácí úlohy
11. 11. Důkaz věty o souvislosti derivací s násobnostmi kořenů, podílová tělesa (konstrukce a příklady). skripta, kap. 4.3 a 11.1,
text o polynomech, kap. 1 a 2.6 		 
18. 11. Dělitelnost v oborech integrity (asociovanost prvků, největší společný dělitel, ireducibilní prvky), počítání modulo polynom, konečná tělesa. skripta, kap. 5.1 - 5.4 domácí úlohy
25. 11. Kvadratická rozšíření celých čísel (okruhy Z[√s]) a vlastnosti normy, dělení se zbytkem v Gaussových celých číslech, Gaussovy okruhy a jejich základní vlastnosti, pojem prvočinitele. skripta, kap. 6, 8.1 a 8.2,
text o polynomech, kap. 3 		 
2. 12. Charakterizace Gaussových oborů, Eukleidovy obory. skripta, kap. 6, 7.1 domácí úlohy
9. 12. Dokončení Eukleidových oborů, Gaussova věta o oborech polynomů nad Gaussovými obory, pojem ideálu a role okruhů hlavních ideálů, definice grupy. skripta, kap. 7.1, 7.2, 9.1,
text o grupách, kap. 1 a 2 		 
16. 12. Grupy - příklady a základní vlastnosti, podgrupy, generátory. Řád (pod)grupy a řád prvku, Lagrangeova věta (důkaz příště). skripta, kap. 14.1, 14.2, 14.3, 15.1, 18.1,
text o grupách, kap. 1 a 2 		domácí úlohy
6. 1. Rozkladové třídy, transverzála, index podgrupy, důkaz Lagrangeovy věty, isomorfismus grup, cyklické grupy. skripta, kap. 14.3, 15.2, 18.1,
text o grupách, kap. 2 a 4 		 
13. 1. Multiplikativní grupy konečných těles, působení grupy na množině. skripta, kap. 15.2, 15.3, 19,
text o grupách, kap. 3.2, 4.1 a 4.2 		 

Literatura

Základním zdrojem jsou skripta D. Stanovského, kde jde pro účely přednášky hlavně o kapitoly I a III, a látku doplňuje připravovaná sbírka úloh:

  • D. Stanovský, Základy algebry, Matfyzpress, 2010,
  • D. Stanovský, Příklady z algebry. [PDF ke stažení]

K dispozici jsou též aktualizované texty od D. Stanovského, které skripta doplňují a více odpovídají řazení témat na přednášce:

Existuje rovněž řada pěkných učebnic v angličtině, např.

  • J. J. Rotman, A First Course in Abstract Algebra: With Applications, Pearson Prentice Hall, 3. vyd., 2006 (2 ks v knihovně),
  • L. Rowen, Algebra: Groups, Rings, and Fields, Taylor & Francis, 1995. [On-line ke stažení]

On-line jsou k dispozici i texty kolegů z katedry, jejich náplň se ale od náplně přednášky často liší: Robert Bashir, Jan Trlifaj, Aleš Drápal, Jan Žemlička.

Další odkazy