David Stanovský    //   

ALGEBRA I, II (2018/19)



Výsledky domácích cvičení ZS

Program ZS:

  1. Základní algebraické objekty - obory integrity, elementární teorie polynomů, elementární teorie čísel, číselné obory
  2. Abstraktní teorie dělitelnosti - zobecněná základní věta aritmetiky a Eukleidův algoritmus pro obecné obory integrity, obory hlavních ideálů
  3. Algebra polynomů - vícenásobné kořeny, polynomy více proměnných, symetrické polynomy, kořenová a rozkladová rozšíření, základní věta algebry
Program LS:
  1. Teorie grup - Lagrangeova věta, cyklické grupy, grupy symetrií, působení na množině a Burnsideova věta, faktorgrupy a řešitelnost
  2. Tělesová rozšíření a Galoisova teorie - rozšíření konečného stupně, algebraické a transcendentní prvky, konstrukce pravítkem a kružítkem, řešení polynomiálních rovnic vs. tělesová rozšíření vs. jejich grupy symetrií (Galoisovy grupy), Abel-Rufiniho věta: neexistuje vzorec pro kořeny polynomů stupně 5 a více
Podrobnější představu o programu si lze vytvořit z loňské verze. Letos to bude podobné (ale určitě ne stejné).

témadoporučené čtení domácí cvičení
4.10.Quo vadis mathematica. Definice a příklady oborů integrity.
Cv.: příklady okruhů, podokruhy
skripta 4.1, 4.2
$1M problems, Fieldsovy medaile
historie algebry
11.10.Základní vlastnosti oborů integrity, lokalizace a podílové těleso. Polynomy: definice.
Cv.: podílová tělesa a polynomy
skripta 4.1, 4.2, 4.3
18.10.Polynomy: dělení se zbytkem, kořeny a dělitelnost, násobnost kořenů
Cv.: polynomy a derivace
skripta 10.1, 11.1 DCV do 1.11. 10:40
25.10.Elementární teorie čísel: základní věta aritmetiky, Eukleidův algoritmus, kongruence.
Cv.: Eukleidův algoritmus, kongruence
skripta 3.2, 3.3
1.11.Elementární teorie čísel: Eulerova věta a kryptosystém RSA, čínská věta o zbytcích.
Cv.: Eulerova věta, čínská věta o zbytcích
skripta 3.4, 3.5, 15.5 DCV do 15.11. 10:40
8.11.Okruhová a tělesová rozšíření, norma v kvadratických rozšířeních.
Cv.: okruhová a tělesová rozšíření
skripta 4.2, 8
15.11.Základní pojmy dělitelnosti: asociovanost, NSD, ireducibilní rozklady.
Cv.: dělitelnost v kvadratických rozšířeních Z
skripta 5, 6
22.11.Gaussovské obory a zobecnění základní věty aritmetiky.
Cv.: ireducibilní rozklady
skripta 6 DCV do 6.12. 10:40
29.11.Eukleidovské obory. Řešení diofantických rovnic rozkladem v Z[a]. Ideály.
Cv.: ideály
skripta 7, 8.2 DCV do 13.12. 10:40
6.12.Obory hlavních ideálů a hierarchie oborů z hlediska dělitelnosti. Gaussova věta.
Cv.: polynomy více proměnných
skripta 7.2, nový text o polynomech 1.1
13.12.Racionální kořeny a Eisensteinovo kritérium. Čínská věta o zbytcích a interpolace. Konstrukce těles počítáním modulo polynom.
Cv.: racionální kořeny, Eisensteinovo kritérium
nový text o polynomech 1.2,2
20.12.Kořenová a rozkladová nadtělesa. Konečná tělesa a jejich aplikace v informatice, sdílení tajemství pomocí interpolace.
Cv.: čínská věta o zbytecích, konečná tělesa
nový text o polynomech 2.3, 3
3.1.Symetrické polynomy.
Cv.: symetrické polynomy
nový text o polynomech 4 DCV do 10.1. 10:40
10.1.Základní věta algebry.
Cv.:
nový text o polynomech 5
20.2.Cv.: příklady grup a podgrupy
Quo vadis algebra. Definice a příklady grup, mocniny a řád.
nový text o grupách 1.1, 1.2 osvěžte a doplňte si znalosti o permutacích - viz sekce 1.3
27.2.Cv.: podrupy, generátory
Generátory podgrup. Lagrangeova věta.
nový text o grupách 2.1, 2.2 DCV do 13.3. 14:00
6.3.Cv.: podgrupy, generátory
Grupové homomorfismy, izomorfismus a neizomorfismus, malé grupy.
nový text o grupách 3.1, 3.2, 3.3, 3.4
13.3.Cv.: homomorfismy
Struktura cyklických grup.
nový text o grupách 3.4, 4 DCV do 27.3. 14:00
19.3.Cv.: izomorfismus
Výpočetní aspekty a aplikace diskrétního logaritmu. Grupy symetrií.
skripta 15.4, 15.5, 17.3
26.3.Cv.: ??
Působení grupy na množině a Burnsideova věta. Cauchyova věta
nový text o grupách 5

Zde je program cvičení Jana Žemličky.

Letní semestr, doporučené doplňující a navazující kurzy

  • Proseminář z algebry (NMAG261) bude obsahovat různá témata prohlubující, doplňující a rozšiřující probíranou látku - teorie i aplikace. Proseminář je doporučen všem studentům, kteří se v dalším studiu setkají s algebrou (tj. zejména studenti struktur a MIT), ale i těm, kteří zatím váhají s výběrem oboru.
  • Seminář o p-adických číslech (NMAG475) - abstraktnější alternativa k prosemináři, doktorand Alexander Slávik povede interaktivní seminář o p-adických číslech, kde se potkávají základy algebry, teorie čísel i topologie.
  • Úvod do dějin novověké matematiky (NMAG168, prof. Kvasz z PedF UK) = "quo vadis mathematica od profesionála" - pokud chcete získat dobrou představu o tom, proč se učíte zrovna to, co se učíte (nejen v algebře).
  • Další doporučené kurzy, kde najdete využití algebry, jsou Teorie čísel a RSA a Kryptografické systémy (povinné pro obor MIT).

Program prosemináře:
témadoporučené čtení domácí cvičení
19.2.(DS) Vzájemně ortogonální latinské čtverce a design experimentů wikipedia a spousta dalších zdrojů na internetu
26.2.(JŠ) Elementární vlastnosti grup a pologrup
5.3.(JŠ) Pokračování. Volné grupy a pologrupy. DCV do 12.3. 10:40
12.3.(DS) Projektivní rovina, Bézoutova věta, grupová operace na eliptické křivce. wikipedia: projektivní rovina, Bézoutova věta, eliptické křivky
19.3.(JŠ) Konečně prezentované grupy
26.4.(DS) Úvod do algebraické topologie: fundamentální grupy fundamentální grupa, Poincarého domněnka, Kleinova lahev

Pokud něčemu nerozumíte, nebojte se přijít zeptat (pokud možno dříve, než za tuto neznalost budete penalizováni u zkoušky). Na konzultaci můžete přijít kdykoliv po předchozí domluvě emailem.

Domácí cvičení:
Během semestru bude zadáno X sad domácích cvičení (X bude asi 5 nebo 6), průměr z X-1 nejlepších sad se započítá jako bonusové body ke zkoušce. Budou tvořit 15% z celkového počtu bodů u zkoušky. Úkoly se odevzdávají do schránky u vchodu na katedru algebry (preferovaná varianta), případně přednášejícímu osobně nebo elektronicky na email ve formátu PDF. Úlohy podepisujte jménem nebo přezdívkou a označením cvičení (cvičící, hodina); na první domácí úkol napište přezdívku, pod kterou budou zveřejňovány výsledky na webu. Je povolené (dokonce doporučené) konzultovat řešení se spolužáky, nicméně řešení musí sepsat každý sám a sepsané řešení není dovoleno ukazovat ostatním studentům.

Zkouška:
Zkouška bude písemná i ústní. Z celkového počtu 100 bodů bude možné získat až 15 za domací úkoly, 65 za test a 20 za ústní část. K úspěšnému složení zkoušky je třeba aspoň 57.5 bodu. Na ústní postupují všichni, kdo mají součet z testu a domácích úkolů alespoň 45. Výsledné hodnocení v rozsahu výborně až dobře rozhodnu individuálně po ústní části (orientační hranice 70 a 82.5).
Zkoušená látka přesně odpovídá tomu, co jsme probrali na přednášce, viz tabulka výše. Zkoušet se budou jak znalosti, tak porozumění tématu (tj. nazpaměť naučené definice, důkazy a postupy řešení rutinních úloh ke složení zkoušky typicky nestačí). Hodnotí se také korektní matematický zápis. Doporučuji se učit ze zápisků z přednášky i ze skript (případně z loňských videí), styl výkladu se může mírně lišit (stará skripta mají horší řazení látky, ale jsou psaná pečlivěji než zápis na tabuli). Doporučuji propočítat reprezentativní část příkladů ze sbírky, zimního semestru se týká kapitola II (kromě intervalu 112-125).
Test bude na 120 minut, najdete v něm

  • krátké úlohy na znění definic a vět, znalost příkladů,
  • početní úlohy - jak rutinní, typu cvičení, tak i teoretičtější úlohy, nad kterými je potřeba se zamyslet,
  • důkazy - jak vět z přednášky, tak i jejich drobných modifikací, kde nelze doslova použít text ze skript.
Zde je vzorový test ze ZS (tj. test z předtermínu).
V ústní části dostanete zadané téma (typicky jedna sekce ze skript), vaším úkolem bude toto téma zpracovat a vysvětlit. Hodnotí se porozumění tématu i znalost důkazů (těžší důkazy = víc bodů). Čas na přípravu 20-30 minut, debata se zkoušejícím 10-15 minut.
Termíny zkoušek a přihlašování je v SISu.

Zápočet z prosemináře:

Aspoň 66% bodů z proseminářových domácích úloh. Během semestru bude zadáno X sad domácích cvičení (X bude plusminus 5), počítá se průměr z X-1 nejlepších sad. Úkoly se odevzdávají na začátku prosemináře, případně jednomu z přednášejících osobně nebo elektronicky na email ve formátu PDF. Úlohy podepisujte jménem nebo přezdívkou, na první domácí úkol napište přezdívku, pod kterou budou zveřejňovány výsledky na webu. Úkoly můžete řešit ve dvojici, v takovém případě odevzdávejte jedno řešení se dvěma podpisy.

Základní literatura:

Další užitečné prameny:

  • existuje řada pěkných učebnic v angličtině, doporučuji například:
    • J. Rotman, A First Course in Abstract Algebra (2ks v knihovně)
    • L. Rowen, Algebra: Groups, Rings, and Fields (zdarma online)
    • víceméně jakákoliv kniha obsahující "abstract algebra" v názvu a "undergraduate level" v popisu bude pokrývat větší část látky přístupnou formou
  • texty ostatních kolegů z katedry - Robert Bashir, Jan Trlifaj, Aleš Drápal, Jan Žemlička
  • podnětné články obsahuje wikipedia
  • pokud se vám moje přednáška nelíbí, můžete zkusit štěstí s přednáškou z Harvardu