David Stanovský    //   

ALGEBRA I, II (2018/19)



Výsledky domácích cvičení ZS

Program ZS:

  1. Základní algebraické objekty - obory integrity, elementární teorie čísel, elementární teorie polynomů, číselné obory
  2. Abstraktní teorie dělitelnosti - základní věta aritmetiky a Eukleidův algoritmus pro obecné obory integrity, obory hlavních ideálů
  3. Algebra polynomů - vícenásobné kořeny, polynomy více proměnných, symetrické polynomy, kořenová a rozkladová rozšíření, základní věta algebry
  4. Tělesová rozšíření - rozšíření konečného stupně, algebraické a transcendentní prvky, konstrukce pravítkem a kružítkem
Program LS:
  1. Teorie grup - Lagrangeova věta, cyklické grupy a výměna klíče, grupy symetrií, působení na množině a Burnsideova věta, faktorgrupy a řešitelnost
  2. Galoisova teorie - řešení polynomiálních rovnic vs. tělesová rozšíření vs. jejich grupy symetrií (Galoisovy grupy), Abel-Rufiniho věta: neexistuje vzorec pro kořeny polynomů stupně 5 a více
Podrobnější představu o programu si lze vytvořit z loňské verze. Letos to bude podobné (ale určitě ne stejné).

témadoporučené čtení domácí cvičení
4.10.Quo vadis mathematica. Definice a příklady oborů integrity.
Cv.: příklady okruhů, podokruhy
skripta 4.1, 4.2
$1M problems, Fieldsovy medaile
historie algebry
11.10.Základní vlastnosti oborů integrity, lokalizace a podílové těleso. Polynomy: definice.
Cv.: podílová tělesa a polynomy
skripta 4.1, 4.2, 4.3
18.10.Polynomy: dělení se zbytkem, kořeny a dělitelnost, násobnost kořenů
Cv.: polynomy a derivace
skripta 10.1, 11.1 DCV do 1.11. 10:40
25.10.Elementární teorie čísel: základní věta aritmetiky, Eukleidův algoritmus, kongruence.
Cv.: Eukleidův algoritmus, kongruence
skripta 3.2, 3.3
1.11.Elementární teorie čísel: Eulerova věta a kryptosystém RSA, čínská věta o zbytcích.
Cv.: Eulerova věta, čínská věta o zbytcích
skripta 3.4, 3.5, 15.5 DCV do 15.11. 10:40
8.11.Okruhová a tělesová rozšíření, norma v kvadratických rozšířeních.
Cv.: okruhová a tělesová rozšíření
skripta 4.2, 8
15.11.Základní pojmy dělitelnosti: asociovanost, NSD, ireducibilní rozklady.
Cv.: dělitelnost v kvadratických rozšířeních Z
skripta 5, 6
22.11.Gaussovské obory a zobecnění základní věty aritmetiky.
Cv.: ireducibilní rozklady
skripta 6 DCV do 6.12. 10:40
29.11.Eukleidovské obory. Řešení diofantických rovnic rozkladem v Z[a]. Ideály.
Cv.: ideály
skripta 7, 8.2 DCV do 13.12. 10:40
6.12.Obory hlavních ideálů a hierarchie oborů z hlediska dělitelnosti. Gaussova věta.
Cv.: polynomy více proměnných
skripta 7.2, nový text o polynomech 1.1


Zde je program cvičení Jana Žemličky.

Pokud něčemu nerozumíte, nebojte se přijít zeptat (pokud možno dříve, než za tuto neznalost budete penalizováni u zkoušky). Na konzultaci můžete přijít kdykoliv po předchozí domluvě emailem.

Domácí cvičení:
Během semestru bude zadáno 6 sad domácích cvičení, průměr z 5 nejlepších sad se započítá jako bonusové body ke zkoušce. Budou tvořit cca 10-15% z celkového počtu bodů u zkoušky. Úkoly se odevzdávají do schránky u vchodu na katedru algebry (preferovaná varianta), případně přednášejícímu osobně nebo elektronicky na email ve formátu PDF. Úlohy podepisujte jménem nebo přezdívkou a označením cvičení (cvičící, hodina); na první domácí úkol napište přezdívku, pod kterou budou zveřejňovány výsledky na webu. Je povolené (dokonce doporučené) konzultovat řešení se spolužáky, nicméně řešení musí sepsat každý sám a sepsané řešení není dovoleno ukazovat ostatním studentům.

Zkouška:
Zkouška bude písemná i ústní, budou se zkoušet příklady (především v písemné části) i teorie. Požadavkem jsou jak znalosti, tak porozumění tématu, hodnotí se také korektní matematický zápis. Formát bude upřesněn před zkouškovým obdobím. Termíny zkoušek a přihlašování je v SISu.

Základní literatura:

Další užitečné prameny:

  • existuje řada pěkných učebnic v angličtině, doporučuji například:
    • J. Rotman, A First Course in Abstract Algebra (2ks v knihovně)
    • L. Rowen, Algebra: Groups, Rings, and Fields (zdarma online)
    • víceméně jakákoliv kniha obsahující "abstract algebra" v názvu a "undergraduate level" v popisu bude pokrývat větší část látky přístupnou formou
  • texty ostatních kolegů z katedry - Robert Bashir, Jan Trlifaj, Aleš Drápal, Jan Žemlička
  • podnětné články obsahuje wikipedia
  • pokud se vám moje přednáška nelíbí, můžete zkusit štěstí s přednáškou z Harvardu