David Stanovský    //   

ALGEBRA I, II (2017/18)



Oznámení:

  • Vítejte. Přečtěte si pečlivě tuto stránku a sledujte oznámení.

Výsledky domácích cvičení

Program ZS:
  1. Abstraktní teorie dělitelnosti - číselné obory, obory polynomů, základní věta aritmetiky pro obecné obory integrity, Eukleidův algoritmus, obory hlavních ideálů
  2. Algebra polynomů - vícenásobné kořeny, polynomy více proměnných, symetrické polynomy, kořenová a rozkladová rozšíření, základní věta algebry
  3. Tělesová rozšíření - rozšíření konečného stupně, algebraické a transcendentní prvky, konstrukce pravítkem a kružítkem
Program LS:
  1. Teorie grup - Lagrangeova věta, působení na množině a Burnsideova věta, cyklické grupy a výměna klíče
  2. Homomorfismy - isomorfismus, faktorobjekty a řešitelnost, grupy automorfismů a Galoisovy grupy tělesových rozšíření
  3. Galoisova teorie - řešení polynomiálních rovnic vs. tělesová rozšíření vs. vlastnosti Galoisových grup, Abel-Rufiniho věta: neexistuje vzorec pro kořeny polynomů stupně 5 a více

témadoporučené čtení domácí cvičení
4.10.Úvod. Definice a příklady oborů integrity.
Cv.: podobory, rozšíření R[a], R(a)
skripta 4.1, 4.2
$1M problems, Fieldsovy medajle
historie algebry
11.10.Elementární teorie čísel: základní věta aritmetiky, Eukleidův algoritmus, kongruence.
Cv.: kongruence, Eulerova věta
skripta 3.2, 3.3 DCV do 18.10. 10:40
18.10.Elementární teorie čísel: Eulerova věta, čínská věta o zbytcích.
Cv.: Eukleidův algoritmus
skripta 3.4, 3.5
25.10.Polynomy: definice, dělení se zbytkem, kořeny a dělitelnost.
Cv.: čínská věta o zbytcích
skripta 4.2, 10.1 DCV do 8.11. 10:40
1.11.Připomenutí oborů integrity, základní vlastnosti. Norma v kvadratických rozšířeních. Základní pojmy dělitelnosti.
Cv.: rozklady polynomů
skripta 4.1, 5, 8
8.11.děkanský den
15.11.Gaussovské obory, zobecnění základní věty aritmetiky.
Cv.: dělitelnost v Z[i]
skripta 5, 6 DCV do 29.11. 10:40
22.11.Důkaz zobecnění z.v.a., eukleidovské obory.
Cv.: dělitelnost v kvadratických rozšířeních Z
skripta 6, 7.1
29.11.Řešení diofantických rovnic v rozšířeních Z. Podílové těleso. Gaussova věta (úvod).
Cv.: dělitelnost pro polynomy více proměnných
skripta 8.2, 4.3, nový text DCV do 13.12. 10:40
6.12.Gaussova věta (důkaz), Eisensteinovo kritérium. Konstrukce těles počítáním modulo polynom.
Cv.: konečná tělesa
nový text
13.12.Kořenová a rozkladová nadtělesa. Symetrické polynomy (úvod).
Cv.: Eisenstein, kořenová a rozkladová nadtělesa
nový text DCV do 3.1. 10:40
20.12.Symetrické polynomy (důkaz základní věty). Základní věta algebry.
Cv.: symetrické polynomy
nový text, ZVA na wikipedii
3.1.Základní věta algebry (dokončení důkazu). Tělesová rozšíření - algebraická čísla, stupeň, minimální polynom
Cv.: tělesová rozšíření
skripta 25 DCV do 12.1. 12:00
10.1.Stupeň rozšíření a konstrukce pravítkem a kružítkem.
Cv.: tělesová rozšíření
skripta 25, 26


Hromadné konzultace: každou středu 14:00 a 14:50 v posluchárně K12. Ukážu řešení posledních domácích cvičení a poté bude čas na vaše dotazy.

Domácí cvičení: Během semestru bude zadáno 6 sad domácích cvičení, průměr z 5 nejlepších sad se započítá jako bonusové body ke zkoušce. Budou tvořit 15% z celkového počtu bodů u zkoušky. Úkoly se odevzdávají do schránky u vchodu na katedru algebry (preferovaná varianta), případně přednášejícímu osobně nebo elektronicky na email ve formátu PDF. Úlohy podepisujte jménem nebo přezdívkou a označením cvičení (cvičící, hodina); na první domácí úkol napište přezdívku, pod kterou budou zveřejňovány výsledky na webu. Je povolené (dokonce doporučené) konzultovat řešení se spolužáky, nicméně řešení musí sepsat každý sám a sepsané řešení není dovoleno ukazovat ostatním studentům.

Zkouška:

Zkouška je písemná, 120 minut. V případě nerozhodné známky může následovat ústní diskuse (spíše výjimečně). Budou se zkoušet příklady i teorie. Požadavkem jsou jak znalosti, tak porozumění tématu, hodnotí se také korektní matematický zápis. Termíny zkoušek a přihlašování je v SISu.

Za test je možné získat max. 100 bodů, za domácí úkoly lze získat bonus max. 20 bodů. K úspěšnému složení zkoušky je třeba aspoň 65 bodů. Výsledné hodnocení v rozsahu výborně až dobře rozhodnu individuálně (mimo jiné v závislosti na obtížnosti testu). Studenti, kteří nebudou souhlasit s tímto hodnocením, se mohou nechat ústně přezkoušet. V testu najdete
  • krátké úlohy na znění definic a vět, znalost příkladů a jednoduché typové úlohy,
  • delší úlohy, jak početní, tak teoretické, zpravidla podobné těm ze cvičení, domácích úkolů a sbírky úloh.
  • zeptám se i na nějaké důkazy.
Zde je vzorový test (tj. test z předtermínu).

Podrobný rozpis probrané a tedy zkoušené látky najdete ve výše uvedené tabulce. Doporučuji se učit ze zápisků z přednášky i ze skript, styl výkladu se může mírně lišit (skripta mají možná horší řazení látky, ale zase jsou psaná pečlivěji). Doporučuji propočítat reprezentativní část příkladů ze sbírky. Zimního semestru se týká celá kapitola II. kromě intervalu 102-125, a část kapitoly VI, cvičení 636-652, 659-683, 693-713.

Pokud něčemu nerozumíte, nebojte se přijít zeptat.

Proseminář z algebry (NMAG261, LS) bude obsahovat různá témata doplňující a rozšiřující probíranou látku - teorie i aplikace. Proseminář je zvlášť doporučen všem studentům, kteří se v dalším studiu setkají s algebrou (tj. zejména studenti struktur a MIT).

Základní literatura:

  • VIDEO
  • skripta Základy algebry [errata], která vyšla v Matfyzpressu - zimní semestr bude založen na kapitolách I,VI, letní na kapitolách III,V
  • Sbírka úloh (v dlouholeté přípravě)
  • průběžně zveřejňované a aktualizované texty, které skripta doplňují (a více odpovídají řazení témat na přednášce):
  • opakování komplexních čísel: viz sekce 1.2 ve starší verzi skript z lineární algebry

Další užitečné prameny:

  • existuje řada pěkných učebnic v angličtině, doporučuji například:
    • J. Rotman, A First Course in Abstract Algebra (2ks v knihovně)
    • L. Rowen, Algebra: Groups, Rings, and Fields (zdarma online)
    • víceméně jakákoliv kniha obsahující "abstract algebra" v názvu a "undergraduate level" v popisu bude pokrývat větší část látky přístupnou formou
  • texty ostatních kolegů z katedry - Robert Bashir, Jan Trlifaj, Aleš Drápal, Jan Žemlička
  • pěkná učebnice zaměřená na výpočetní aspekty algebry a teorie čísel: V. Schoup, A Computational Introduction to Number Theory and Algebra (zdarma online)
  • podnětné články obsahuje wikipedia
  • pokud se vám moje přednáška nelíbí, můžete zkusit štěstí s přednáškou z Harvardu