Abstract. Po prvním seznámení se svazy, distributivitou a modularitou, definujeme volné svazy a budeme v nich řešit problém slov. Znovu ale nyní podrobněji prozkoumáme distributivní a modulární svazy. Popíšeme kongruence svazů a ukážeme jak kongruenční distributivitu svazů aplikovat při studiu svazových variet.
Zápočet a zkouška. Zkouška bude v zimním i letním semestru. Zkouškový test bude sestávat ze tří otázek. Zde je příklad testu po zimním semestru.
8. října 2018. Definovali jsme svaz jako algebru se dvěma asociativními a komutativními operacemi průseku a spojení, které jsou svázány axiomem absorpce. Ukázali jsme, že svazy odpovídají uspořádaným množinám se supremy a infimy neprázdných konečných podmnožin. Dále jsme definovali modulární svazy a ukázali jsme, že svazy podmodulů a normálních podgrup jsou modulární. Naopak svaz všech podgrup modulární být nemusí.
15. října 2018. Definovali jsme modulární svazy. Ukázali jsme, že všechny modulární svazy tvoří varietu. Dále jsme ověřili, že svazy všech podmodulů a všech normálních podgrup jsou modulární. Naproti tomu svaz všech podgrup modulární být nemusí. Nakonec jsme popsali pětiprvkový nemodulární svaz N5 a ukázali jsme, že svaz je modulární právě když N5 není jeho podsvazem.
22. října 2018. Nejprve jsme popsali rovnosti charakterizující distributivitu svazů. Dále jsme ukázali, že svaz je distributivní právě když
29. října 2018. Ukázali jsme, že každé dva prvky distributivního svazu lze oddělit prvoideálem. Odtud jsme odvodili, že každý distributivní svaz je možné vnořit do kartézské mocniny dvouprvkového svazu. Odtud nakonec plyne, že varieta distributivních svazů je generovaná dvouprvkovým svazem a tedy je nejmenší netriviální svazovou varietou.
5. listopadu 2018. Ukázali jsme, že každý prvek distributivního svazu odpovídá termu v konjuktivně-disjunktivním (resp. disjunktivně-konjunktivním) tvaru. Odtud jsme odvodili, že varieta distributivních svazů je lokálně konečná. Dále jsme ukázali, že konečný distributivní svaz je izomorfní svazu dolních podmnožin uspořádané nožiny jeho spojově nerozložitelných prvků. Odtud jsme odvodili, že konečný svaz je distributivní právě když je každý jeho spojově nerozložitelný prvek spojový prvočinitel. Nakonec jsme dokázali, že délka konečného distributivního svazu odpovídá velikosti množiny spojově nerozložitelných prvků tohoto svazu.
12. listopadu 2018. Nejprve jsem ukázali vátu o izomorfismu intervalů v modulárních svazech. Odtud jsem odvodili Kurošovu-Oreovu větu. Dále jsme ukázali, že redukované rozklady prvků modulárního svazu mají všechny stejnou velikost. Nakonec jsme charakterizovali nezávislé množiny v modulárních svazech.
26. listopadu 2018. Definovali jsme svazové kongruence a ukázali lemmata umožňující pro vhodné binární relace svazu ukázat, že se jedná o svazové kongruence. Popsali jsme svaz Con(A) kongruencí svazu A. Ukázali jsme, že svaz kongruencí libovolného svazu je distributivní.
2. a 10. prosince 2018. Pokračovali jsme ve studiu svazových kongruencí. Definovali jsme perspektivitu a slabou perspektivitu intervalů svazu. Tranzitivní obaly těchto relací jsme nazvali projektivitou a slabou projektivitou. Pomocí slabé projektivity jsme popsali vztahy mezi hlavními kongruencemi svazu.
17. prosince 2018. Definovali jsme semimodulární a duálně semimodulární svazy a ukázali jsme, že obě vlastnosti jsou důsledkem modularity. Dále jsme ukázali Jordanovu-Holderovu-Oreho větu o délkách maximálních řetězců v semimodulárních svazech. Definovali jsme dimenzi prvků svazů lokálně konečné délky. Nakonec jsme ukázali, že semimodularitu, duální semimodularitu a modularitu lokálně konečných svazů lze charakterizovat pomocí analogií věty o dimenzi průniku a spojení známé z kurzů lineární algebry.
