Petr Kaplický

Matematika pro fyziky - MAF041, 2008, letní semestr
Petr Kaplický, MFF UK, Katedra matematické analýzy,
Sokolovská 83, 186 75 Praha 8
kaplicky@karlin.mff.cuni.cz, `tel. (+420) 221 913 263`
Literatura: J. Kopáček: Matematika (nejen) pro fyziky II, Příklady z matematiky pro fyziky pro podrobnější porozumění: S. Fučík: Příklady z matematické analýzy II-metrické prostory
Nezapomeňte se zúčastnit studentské ankety, tady!!! Požadavky k zkoušce z MAF041. Zadání 1. zkouškové písemky Zadání 2. zkouškové písemky Zadání 3. zkouškové písemky Zadání 4. zkouškové písemky Požadavky k zápočtu z MAF041: písemky: budu požadovat 25 bodů (nakonec jsem slevil a požaduji pouze 20 bodů) ze 40, v případě, že je nezískáte, spočítáte ze každý chybějící bod 5 příkladů 1. písemka za 20 bodů: parc. derivace, tot. diferencial a rovnice ve tvaru TD 2. písemka za 20 bodů: lokalni a globalni extremy fci vice promennych docházka (povoleny jsou dvě absence, za každou absenci navíc budu požadovat 10 vyřešených příkladů) Navíc vaši práci na cvičení ohodnotím 0-20 body (za aktivitu, za písemky), které mohou v případě nerozhodného výsledku vylepšit vaši známku při zkoušce.
Požadavky k zápočtu z MAF034: Stejné jako výše. 1. písemka za 20 bodů: ODR 2. písemka za 20 bodů: ciselne a funkci rady, popr. posloupnosti funkci
Kdy začíná příští přednáška?	Kdy začíná příští cvičení?
Přednáška 1 Definice (Metrický prostor), Definice (Kruhové a prstencové okolí), Definice (Konvergentní posloupnost), Definice (Otevřená, uzavřená a obojetná množina), Věta 1 (), Věta 1A (), Definice (Uzávěr, vnitřek, hranice), Věta 2 (), Přednáška 2 Věta 3 (), Definice (Hromadný bod), Vlastnosti uz., derivace a vnitřku množiny, Definice (Spojité zobrazení, limita), Věta 4 (), Věta 5 (), Věta 6 (), Věta 7 (), Definice (Kontrakce), Kontrakce je spoj.,v Rn jsou \rho_p ekvivaletni, Přednáška 3 Definice (Cauchyovská posloupnost), Věta 8 (Konv. posl. je Cauchy), Definice (Úplný m.p.), Věta 9 (Uzavřená podm. úplného prostoru), Věta 10 (Baire), Věta 11 (Banachova o kontrakci), Přednáška 4 Definice (M separabilní), Věta 12 (podmnožina separabilní), Definice (M kompaktní), podmnožina kompaktní, Věta 13 (kompakt=>sekv. kompakt v m.p.), Definice (sekv. kompakt), Věta 14 (sekv. kompakt je ...), Přednáška 5 Věta 15 (Cantor), Věta 16 (Lindelofova pokryvaci), Věta 17 (Borelova pokryvaci), Věta 18 (spojitý obraz kompaktu), Definice (stejnoměrná spojitost), Věta 19 (spojita fce na kompaktu je...), Definice (NLP), Definice (prostor se skalárním součinem), NLP a prostor se skalárním součinem jsou m.p., Přednáška 6 Lemma (Cauchy-Schwarz), Definice (Ekvivalence norem), p-normy v R^n ekv., Věta 20 (char. kompaktů v R^n s max normou), 1-sfera je v R^n s max normou kompakt,všechny normy v R^n jsou ekv.,davaji stejne ot. mn. ..., Věta 21 (R^n je úplný, separabilní, char. kompaktů), Věta 22 (spojitá zobrazení na R^n), Definice (parcialní derivace, 2. pd, derivace ve směru, gradient, tot. diferenciál), Přednáška 7 vlastnosti td. a příklady, Věta 23 (souvislost td, spoj, parc. derivaci), Věta 24 (spoj pd=>ex td), řetízkové pravidlo, Přednáška 8 opak. td, Definice (td pro zobrazeni do R^k), Definice (Jacobiho matice), Věta 25 (řetízkové pravidlo), příklad, Věta 26 (o střední hodnotě), rovnice ve tvaru td, Věta 27 (ex. potencialu), Definice (exaktní rovnice), řešení exaktních rovnic, co dělat když rce není exaktní, Přednáška 9 neexaktni rovnice ve tvaru td, Věta 28 (zamennost p.d. ), Definice (C^k(Omega)), Definice (funkce s dif radu N), Definice (dif. radu N), Věta 29 (Tayloruv vzorec v Rn), Lemma (soucet, soucin, slozeni fci z C^k), Definice (lok. extremy), Věta 30 (nutna podm. lok. extremu), Definice (stacionarni body), Přednáška 10 Věta 31 (postačující podmínka extrému), Věta 32, 33 (o implicitní funkci), Přednáška 11 vety 34, 35 o lagr. multiplikatorech a příklady Přednáška 12 Věta 36 (), důkaz věty o existenci a jednoznačnosti řešení ODR-zopakujte si co víte o stejnoměrné konvergenci a Banachův princip kontrakce, použití transformace souřadnic na vlnovou rovnici naleznete zde. N2kde jsem zapomněl konstantu 2, ale výsledek je ok.	Příklady na cvičení od doc. Pokorného, první týden jsme věnovali aplikaci Riemannova integrálu, druhý týden se budeme věnovat konvergenci Riemannova integrálu a řešení ODR pomocí separace proměnných, případně homogenním ODR třetí týden: MAF041-operace s základními pojmy v metrických prostorech, příklady, MAF034-ODR-separovane, homogenni, linearni 1. radu, Bernoulli, viz. příklady doc. Pokorného 3. týden čtvrtý týden: MAF041-Banachova věta o kontrakci, MAF034-ODR-lin. vyššího řádu, viz. příklady doc. Pokorného 4. týden pátý týden: MAF041: Banachova věta-odhad chyby, spojitost a limita f:R^n->R, MAF034: ODR dalších tipů, řady s nezápornými členy (nutná podmínka, srovnávací kriterium, integralní kriterium), 5. týden 6. cvičení (31.3.): řady s obecnými členy 7. cvičení (7.4.): MAF041: parciální derivace a totální diferenciál, MAF034: písemka diferenciální rovnice (se separovanými proměnnými, lin. s konstatními koeficienty+variace konstant) a její řešení, stejnomerna konvergence posloupnosti funkci 8. cvičení (14.4.): MAF034-řady funkcí, viz. příklady, MAF041-řetízkové pravidlo a rce ve tvaru td příklady, podivejte se take na priklady 7/22,23 9. cvičení (21.4.): MAF034-stejnoměrná konvergence a mocninné řady, příklady, MAF041-Taylorův polynom více prom., lokální extrémy příklady a příklady 10. cvičení (28.4.): MAF034-Besselova rovnice, limitni prechody v Lebesgueove integralu, příklady, MAF041-pisemka (tot. diferencial a rovnice ve tvaru TD), lokalni extremy-postacujici podminka příklady, 11. cvičení (5.5.): zastupuje dr. Černý-celé cvičení bude věnováno Lebesgueovu integrálu-věta o substituci a Fubiniho věta 12. cvičení (12.5.): budeme psát písemku na stejnoměrnou konvergenci (12-13 hod, 3. příklady: st. konv. posl. fci, rad a polomer konv. mocninne rady), krome toho se budeme věnovat větě o implicitních funkcích a fubiniho větě a větě o substituci 13. cvičení (19.5.): zadání 2. zápočtové písemky z MAF041, jsou to dva příklady (globální extrémy, implicitní fce) zkuste si ji vyřešit za 60 minut, časem dodám i obodované řešení, pokud bude mít někdo zájem o konzultaci, ozvěte se. Na cvičení budeme počítat příklady na globální extrémy a větu o implicitní funkci podívejte se také na cvičení a domácí úkoly z MAF041 a MAF034 z roku 2007. Pozor mohou se tam vyskytovat chyby.