David Stanovský
// 
|
|
| ALGEBRA (2021/22) |
Program:
- Elementární teorie čísel
- Základní algebraické objekty - obecné obory, elementární teorie polynomů, číselné obory
- Abstraktní teorie dělitelnosti - zobecněná základní věta aritmetiky a Eukleidův algoritmus pro obecné obory, obory hlavních ideálů
- Algebra polynomů - ireducibilní rozklady polynomů, modulární aritmetika a konečná tělesa, symetrické polynomy a základní věta algebry
- Teorie grup - Lagrangeova věta, cyklické grupy, grupy symetrií, působení na množině a Burnsideova věta, faktorgrupy a řešitelnost
- Tělesová rozšíření a Galoisova teorie - rozšíření konečného stupně, algebraické a transcendentní prvky, konstrukce pravítkem a kružítkem, Galoisovy grupy a (ne)existence vzorců pro řešení polynomiálních rovnic
Základní literatura: skripta Algebra 22 (finální)
NEW NEW NEW Velmi provizorní sbírka dodatečných úloh (čtěte pozorně úvodní text) NEW NEW NEW
NEW NEW NEW Požadavky ke zkoušce (finální) NEW NEW NEW
Kvízy: body
Program (přesný minulý, předběžný budoucí - počítejte s drobnými posuny):
| téma přednášky | skripta | slajdy | téma cvičení | kvíz | |
| 16.2.+17.2. | Elementární teorie čísel: NSD, základní věta aritmetiky, kongruence, Eulerova věta, čínská věta o zbytcích. | sekce 1 | 1 | Eukleidův algoritmus, kongruence. | výsledky |
| 23.2.+24.2. | Základní algebraické struktury: okruhy, obory a tělesa, příklady, základní vlatnosti, izomorfismus, podílová tělesa. Polynomy: definice, dělení se zbytkem, kořeny a dělitelnost. |
sekce 2, 3.1-3.4 | 2-4 | Eulerova věta, čínská věta o zbytcích. | výsledky |
| 2.3.+3.3. | Polynomy: algebraická a transcendentní čísla Číselné obory: Okruhová a tělesová rozšíření, norma v kvadratických rozšířeních. Základní pojmy teorie dělitelnosti: asociované prvky, NSD. |
sekce 3.6, 4, 5.1, 5.2 | 2-4, 5 | Základní algebraické struktury; obory polynomů, kořeny. | výsledky |
| 9.3.+10.3. | Základní pojmy teorie dělitelnosti: ireducibilní rozklady. Gaussovské obory, zobecnění základní věty aritmetiky. Obecný Eukleidův algoritmus, obory hlavních ideálů. |
sekce 5.3, 5.4, 6.1, 6.2, 7.1, 7.2 | 5, 6, 7 | Číselné obory: dělení se zbytkem, ireducibilní rozklady, NSD | výsledky |
| 16.3.+17.3. | Hierarchie oborů z hlediska dělitelnosti. Řešení diofantických rovnic v rozšířeních. Racionální kořeny, Eisensteinovo kritérium. Gaussova věta. Čínská věta o zbytcích pro polynomy. |
sekce 7.2, 7.3, 6.3, 8, 9.1 | 7, 8, 9.1 | Polynomy: kořeny, ireducibilní rozklady, NSD | výsledky |
| 23.3.+24.3. | Modulární aritmetika na polynomech: čínská věta o zbytcích, faktorokruh, kořenová nadtělesa, konečná tělesa a jejich aplikace, sdílení tajemství. Symetrické polynomy a Vietovy vztahy. |
sekce 9, 10, 11 | 9.1, 9.2-3, 11-12 | Gaussovo lemma, čínská věta o zbytcích pro polynomy. | výsledky |
| 30.3.+31.3. | Symetrické polynomy (Gaussův algoritmus). Základní věta algebry. Grupy: definice a příklady grup. |
sekce 11, 12, 13 | 11-12, 13-15 | Faktorokruhy, konečná tělesa. | výsledky |
| 6.4.+7.4. | Mocniny a řád. Podgrupy: generátory, Lagrangeova věta. Grupové homomorfismy. |
sekce 14.1, 14.2, 15.1 | 13-15 | Symetrické polynomy a Vietovy vztahy. Opakování k testu NEBO Permutační grupy. | výsledky |
| 13.4.+14.4. | ZÁPOČTOVÝ TEST (13.4.) Quo vadis mathematica. Izomorfismus a neizomorfismus, klasifikační věty, malé grupy.,, |
sekce 15.2-15.40 | 13-15, 15.4 | Permutační grupy. Podgrupy, generátory, homomorfismy. | kvíz nebude |
| 20.4.+21.4. | Struktura cyklických grup, výpočetní aspekty a aplikace diskrétního logaritmu. Symetrie. Působení grupy na množině a Burnsideova věta. |
sekce 16, 17.1, 18 | 16, 18 | Homomorfismy, izomorfismus. Struktura grup Zn*. | výsledky |
| 27.4.+28.4. | Cauchyova věta. Normální podgrupy, faktorgrupy, řešitelné grupy. Okruhové homomorfismy a faktorokruhy. |
sekce 18.3, 19, 20 | 18.3,19, 20 | Symetrie krychle (viz 17.1). Působení grupy na množině a Burnsideova věta. | výsledky |
| 4.5.+5.5. | Tělesová rozšíření: algebraická čísla, stupeň, minimální polynom. Konstrukce pravítkem a kružítkem. |
sekce 21-23 | 21-22, 23 | Faktorgrupy a faktorokruhy. | výsledky |
| 11.5.+12.5. | --- REKTORSKÝ DEN --- Izomorfismy kořenových a rozkladových nadtěles, klasifikace konečných těles. |
sekce 24 | 24 | --- REKTORSKÝ DEN --- | kvíz nebude |
| 18.5.+19.5. | Galoisovy grupy (Ne)řešitelnost polynomiálních rovnic v radikálech. |
sekce 25, 26 Al Chvárizmí: Aritmetický a algebraický traktát |
25, 26 | Minimální polynomy, stupeň tělesových rozšíření. | výsledky |
Zápočet: zápočtový test, standardní termín na přednášce 13.4., opravné termíny 2.5., 20.5. Podrobné informace jsou zde.
Řešení: první test, druhý test
Zkouška: 10% kvízy, 72% písemný test, 18% ústní zkouška.
- kvízy: zadávány každý týden, max. 1 bod, počítá se 10 nejlepších skóre
- Požadavky ke zkoušce
- Ukázka tři roky starých testů: ZS, LS. Formát bude trochu jiný, ale můžete vypozorovat styl otázek.
- Proseminář z algebry (NMAG261) bude obsahovat různá témata prohlubující, doplňující a rozšiřující probíranou látku - teorie i aplikace. Proseminář je doporučen všem studentům, kteří se v dalším studiu setkají s algebrou (tj. zejména studenti struktur a MIT), ale i těm, kteří zatím váhají s výběrem oboru.
- Další doporučené kurzy, kde najdete využití algebry, jsou Teorie čísel a Kryptografické systémy (povinné pro obor MIT).
Konzultace: Pokud něčemu nerozumíte, nebojte se přijít zeptat! (Pokud možno dříve, než za tuto neznalost budete penalizováni u zkoušky.) Na konzultaci můžete přijít kdykoliv po předchozí domluvě emailem.
Doporučené doplňující a navazující kurzy: