Logika a teorie množin (NMTM503/NMUM505)

Už hotová část skript (12.12.2022): ke stažení zde.

Informace (aktualizováno 25.10.2022):
  • Proběhla první přednáška, jejíž částečnou nahrávku si můžete stáhnout zde. Kvůli technickému problému jsme přišli o posledních 20 minut nahrávky, naštěstí to ale není velký problém, neboť jsem v tomto čase dělal vlastně už jen důkaz Cantorovy věty o nespočetnosti množiny reálných čísel. Ten můžete (mnohem podrobněji) najít v zárodku mého učebního textu pro tento předmět (odkaz nahoře).
  • Kvůli praxím přednáška několik prvních týdnů semestru není; bylo již domluveno, že první přednáška z tohoto předmětu se bude konat v úterý 25.10. (podle rozvrhu). Protože není vyloučeno, že někteří z vás se kvůli praxím nebudou moci zúčastnit, budu tuto přednášku zároveň natáčet a vzniklý záznam bude později k dispozici na této webové stránce.

Zkouška: Rozsah zkoušené látky se bude držet přednášky, maximálně se může objevit něco ze skript (která budete ode mě mít), co se na přednášce nestihlo; každopádně nebudete muset hledat nikde jinde. Při zkoušce Vám dále můžu zadat nějakou jednoduchou úlohu na rozmyšlení (typicky se snadným důkazem z definice) nebo prostě "zvídavou otázku". Zkouška bude probíhat formou ústního zkoušení s přípravou; dostanete tedy otázky, které si budete moci předem rozmyslet a poté si o nich popovídáme.
Případná online zkouška: Preferovaný způsob bude prezenční; nebude-li to však možné (ať už obecně, nebo v konkrétních závažných případech), zkouška proběhne přes Zoom. V tom případě bude pravděpodobně minimální čas na přípravu a zkouška proběhne spíše formou rozhovoru, během nějž se budu snažit poznat, jestli se v problematice orientujete.

Požadavky (koncem semestru mohou být upraveny): Obecně vzato se mohu ptát na cokoliv, co bylo na přednášce, ale je několik klíčových věcí, na které je potřeba se zaměřit. Jde především o následující: Axiomy TM (komentář k jejich významu); rozdíl mezi třídou a množinou; univerzální třída; Russellův paradox (případně další paradoxy); relace ekvivalence a uspořádání (různé typy a příklady); uspořádání inkluzí na potenční množině; úplný svaz; Věta o pevném bodě (s důkazem); mohutnost (subvalence, ekvipotence); Cantorova-Bernsteinova věta (s důkazem); přirozená čísla v teorii množin, jejich uspořádání a operace; princip matematické indukce i s jeho (velmi jednoduchým) důkazem; další číselné obory; Věta o konstrukci rekurzí (bez důkazu); Cantorova věta o mohutnosti potence (potence množiny má vždy ostře větší mohutnost než množina sama); konečné množiny (stačí definice a základní vlastnosti); spočetné a nespočetné množiny a jejich základní vlastnosti; "omega krát omega" je spočetná; množina racionálních čísel je spočetná; množina reálných čísel je nespočetná (Cantorovou diagonální metodou i pomocí ekvipotence s "dvě na omega"); hypotéza kontinua a její nerozhodnutelnost (co to znamená?); axiom výběru; základy o ordinálech a kardinálech.

Doporučené materiály:

  • Bohuslav Balcar, Petr Štěpánek: Teorie množin (Academia). Tato výborná kniha pokrývá veškerou teorii množin v sylabu, tedy větší část kurzu. Není to však snadná úvodní kniha a bude tedy možná vhodnější číst jen některé její části; rozhodně však knihu můžete začít číst už nyní. V knize je obsáhlý a čtivý úvod, který vysvětluje některé historické souvislosti a dává motivaci pro vznik a studium teorie množin. V následujících kapitolách je teorie množin postupně budována velmi rigorózním způsobem.
  • Slidy kolegy Petra Glivického jsou ke stažení zde. Stejně jako výše uvedená kniha obsahují více látky, než budeme potřebovat, dají se však použít jako přehledné shrnutí.
  • Bakalářská práce pana Davida Webera (úspěšně obhájená v roce 2022) se dá použít jako příručka nebo doplňující moje velmi neúplná skripta. Částečně pokrývá látku tohoto předmětu a obsahuje dost zajímavých informací navíc, to vše přehledně a se spoustou ilustrujících obrázků. Stáhněte si ji zde.

Ideální učební materiál pro tento předmět neexistuje. Proto se budeme spoléhat především na přednášku.

Archiv starších materiálů:

Přednáška o (AC) natočená offline: poznámky; video.
Přednáška 4.ledna 2022: poznámky; video.

Online přednášky z roku 2020 ke stažení: POZOR, každý rok to dělám trochu jinak; tyto záznamy tedy v žádném případě nepovažujte za náhradu přednášky.