Teorie svazu I

Utery: 9:00 - 10:30 K12

Abstract

Po prvnim seznameni se svazy, distributivitou a modularitou se podivame na algebraicke svazy a jejich vztah k uzaverovym systemum. Po te definujeme volne svazy a budeme v nich resit problem slov. Znovu, ale ted podrobneji prozkoumame distributivni a modularni svazy. Popiseme kongruence svazu, a ukazeme jak kongruencni distributivitu svazu aplikovat pri studiu svazovych variet.

Prubeh zkousky

Student dostane trojici otazek setavajici z kapitoly nebo podkapitoly, konkretniho tvrzeni, ktere bude treba spravne zformulovat a podrobne dokazat a jednoducheho problemu, ktery bude resit.

Prednasky

    Zakladni vlastnosti svazu

  1. 3. rijna 2017: Axiomacky jsme definovali svaz jako algebru s dvojici operaci pruseku a spojeni. Ukazali jsme, ze takto definovany svazy odpovidaji mnozinam v nichz ma kazda neprazdna konecna mnozina supremum a infimum. Definovali jsme modularni svazy a ukazali jsme, ze svazy podmodulu a svazy normalnich podgrup jsou modularni. Naproti tomu svazy podgrup modularni byt nemusi.

  2. 10. rijna 2017: Ukazali jsme, ze svaz N5 neni modularni a ze svaz je modularni prave kdyz neobsahuje podsvaz izomorfni svazu N5. Definovali jsme distributivni svazy a popsali jsme modularni nedistributivni svaz M3 .

  3. Distributivni svazy

  4. 17. rijna 2017: Ukazali jsme, ze svaz je distributivni prave kdyz neobsahuje podsvaz izomorfni svazu N5 nebo M3 . Dale jsme ukazali, ze kazde dva prvky distributivniho svazu lze oddelit prvoidealem. Odtud jsme odvodili, ze kazdy distributivni svaz je mozne vnorit do kartezske mocniny dvouprvkoveho svazu. Odtud nakonec plyne, ze varieta distributivnich svazu je generovana dvouprvkovym svazem a tedy je nejmensi svazovou varietou.

  5. 24. rijna 2017: Induktivne jsme definovali svazove termy a ukazali jsme, ze kazdy prvek distributivniho svazu generovaneho mnozinou X dostaneme dosazenim vhodnych prvku mnoziny X do svazoveho termu v konjunftivne-disjunktivnim, resp. disjunktivne-konjunktivnim tvaru. Definovali jsme polosvazy, distributivni spojove polosvazy a ukazali jsme, ze spojovy polosvaz je distributivni prave kdyz svaz jeho idealu je distributivni.

  6. 31. rijna 2017: Ukazali jsme, ze konecne distributivni svazy jsou izomorfni svazum vsech dolnich podmnozin usporadanych mnozin jejich spojove nerozlozitelnych prvku. Dale jsme ukazali, ze konecny svaz je distributivni prave kdyz je kazdy jeho spojove nerozlozitelny prvek spojovym prvocinitelem a ze delka konecneho distributivniho svazu je rovna poctu jeho spojove nerozlozitelnych prvku.

  7. Kongruence svazu

  8. 7. listopadu 2017: Definovali jsme kongruence svazu a pripomneli jsme, ze odpovidaji jadrum svazovych homomorfismu. Ukazali jsme, ze bloky svazovych kongruenci jsou konvexnimi podsvazy. Overili jsme, ze svaz kongruenci svazu tvori uplny svaz a popsali jsme pruseky a spojeni v tomoto svazu. Na zaver jsme ukazali, ze svaz kongruenci svazu je distributivni.

  9. 14. listopadu 2017: Zkoumali jsme vztahy mezi hlavnmi kongruencemi svazu. Ukazali jsme, ze s projektivity intervalu b/a a d/c plyne rovnost ʘ(a,b) = ʘ(c,d). Pomoci slabe projektivity jsme charakterizovali, kdy je kongruence ʘ(c,d) obsazena v kongruenci ʘ(a,b).

  10. 21. listopadu 2017: Konecnemu svazu jsme A jsme priradili orientovany graf GA jehoz vrholy jsou spojove nerozlozitelne prvky svazu A a plati, ze b —> a pokud je b ruzne od a a b lezi v nejakem minimalnim pokryti prvku a.

Literatura

  1. Gratzer, G., General Lattice Theory (2nd ed.), Birkhauser Verlag, Basel, 1998.
  2. Nation, J. B., Notes on Lattice Theory. Volne k dispozici online.


Zpet na stranku vyuky