MFF UK

Obsah jednotlivých přednášek a cvičení

Přednáška č. 1 - 3.10.2017
Úvodní informace - o čem a k čemu je komplexní analýza, předpokládané znalosti a prerekvizity, základní informace o zápočtech, zkouškách a literatuře. Dále oddíly I.1 (Těleso komplexních čísel) a I.2 (Komplexní funkce reálné proměnné). Přitom důkaz základních vlastností množiny komplexních čísel byl probrán jen stručně a důkaz Větičky 1 nebyl proveden (podrobný důkaz je k dispozici u textů k přednášce).

Cvičení č. 1
Úterní kruh - 3.10.2017: Příklady I/1-4. Přitom příklady 2(a,h) a 3(b) byly podrobně předvedeny, zbylé příklady studenti počítali samostatně.
Páteční kruh - 6.10.2017: Příklady I/1-4. Přitom příklady 2(a,i) a 3(b) byly podrobně předvedeny, zbylé příklady studenti počítali samostatně.

Přednáška č. 2 - 10.10.2017
Oddíl I.3 (Komplexní funkce komplexní proměnné). Dále oddíl II.1 (Mocninné řady - připomenutí) - definice a věty byly stručně připomenuty, a to bez důkazů, které byly v základním kurzu matematické analýzy. Důkazy jsou zároveň k dispozici u textů k přednášce. Dále začátek oddílu II.2 (Elementární celé funkce) - do Věty II.3 včetně.

Cvičení č. 2
Úterní kruh - 10.10.2017: Příklady 1-4 z Příkladů pro porozumění látce ke kapitolám I a II. Dále Příklad I/5. Přitom příklady 1-3 a 4(1-3) byly podrobně předvedeny, příklady 4(4) a I/5 studenti počítali samostatně.
Páteční kruh - 13.10.2017: Program byl stejný jako v úterý.

Přednáška č. 3 - 17.10.2017
Dokončení oddílu II.2 - zavedení goniometrických a hyperbolických funkcí a Věta 4. Podrobný důkaz Věty 4 je k dispozici u textů k přednášce, na přednášce byly vlastnosti (1)-(8) jen stručně probrány a okomentovány, vlastnosti (9)-(16) byly dokázány. Dále začátek oddílu II.3 (Logaritmus, argument, obecná mocnina) - do Věty 5(5) včetně příslušných důkazů.

Cvičení č. 3
Úterní kruh - 17.10.2017: Analýza řešení rovnice sin(z)=w a tg(z)=w v závislosti na w∈C. Dále samostatné počítání příkladů I/6,7 a analýzy řešení rovnice cotg(z)=w v závislosti na w∈C. Doporučení pro domácí počítání: analýza řešení rovnice cos(z)=w.
Páteční kruh - 20.10.2017: Analýza řešení rovnice sin(z)=w a tg(z)=w v závislosti na w∈C, chování funkcí exp(1/z) a sin(1/z) v prstencovém okolí nuly. Dále samostatné počítání příkladů I/6,7 a analýzy řešení rovnice cotg(z)=w v závislosti na w∈C. Doporučení pro domácí počítání: analýza řešení rovnice cos(z)=w.

Přednáška č. 4 - 24.10.2017
Dokončení oddílu II.3 - od Věty 5(5) do konce oddílu. Dále začátek oddílu III.1 (Křivky a křivkový integrál v C) - do Větičky 2 včetně. Přitom vztah křivkového integrálu v C byl jen stručně zmíněn a důkaz bodu (3) z Větičky 1 nebyl proveden (je snadný, pokud známe důkazy bodů (1) a (2), zároveň je k dispozici u textů k přednášce).

Cvičení č. 4
Úterní kruh - 24.10.2017: Chování funkcí exp(1/z) a sin(1/z) v prstencovém okolí nuly, dále příklady 13 a 14(1,2) z příkladů k pochopení látky ke kapitolám I a II. Dále samostatně příklady II/1,2 a případně zbytek příkladu 14 (doporučuji rozmyslet doma).
Páteční kruh - 27.10.2017: Příklady 13 a 14(1,2,3) z příkladů k pochopení látky ke kapitolám I a II. Dále samostatně příklady II/1,2 a případně zbytek příkladu 14 (doporučuji rozmyslet doma).

Přednáška č. 5 - 31.10.2017
Dokončení oddílu III.1 - od Větičky 3 do konce oddílu. Dále začátek oddílu III.2 (Integrály a křivkové integrály závislé na parametru) - Věta 6 se základním schématem důkazu (podrobný důkaz nebyl proveden, je k dispozici u textů k přednášce) a Věta 7(1,2).

Cvičení č. 5
Úterní kruh - 31.10.2017: Příklady k pochopení látky - 4 a 5 ke kapitole III, 12 ke kapitolám I a II, 6 ke kapitole 3, více o funkci Γ.
Páteční kruh - 3.11.2017: Program byl stejný jako v úterý.

Přednáška č. 6 - 7.11.2017
Dokončení oddílu III.2 - Věta 7(3,4). Dále oddíl III.3 (Spojité větve logaritmu, index bodu ke křivce) - do Poznámky (1) za Větou 11 včetně. Obecný případ Věty 8 dokázán nebyl, jen jednoznačnost a speciální případ. Důkaz obecného případu je k dispozici u textů k přednášce.

Cvičení č. 6
Úterní kruh - 7.11.2017: Poznámky o indexu bodu ke křivce - Jordanova věta, propichovací věta, index jako winding number. Dále samostatně příklady II/3,4, případně příklady 7 a 8 k pochopení látky ke kapitole III.
Páteční kruh - 10.11.2017: Program byl stejný jako v úterý.

Přednáška č. 7 - 14.11.2017
Oddíl III.4 (Lokální Cauchyova věta a její důsledky) - do Věty 14 včetně. Poznámka o nalepování byla přeskočena, bude zařazena na cvičení.

Cvičení č. 7
Úterní kruh - 14.11.2017: Poznámka o nalepování primitivních funkcí, aplikace na podmnožiny mezikruží (Příklad 9 ke kapitole III), dále příklad II/5, z toho a1) a a4) bylo předvedeno, zbytek studenti počítali samostatně.

Přednáška č. 8 - 21.11.2017
Pokračování oddílu III.4 - od Důsledku Věty 14 do Důsledky Věty 19 včetně. Přitom Důsledek Věty 19 byl jen stručně okomentován, podrobný důkaz je k dispozici u textů k přednáškám.

Cvičení č. 8
Úterní kruh - 21.11.2017: Příklady 10(1,2), 12 a 13 ke Kapitole III, dále příklady II/6(a,d),7(a). Doporučení pro domácí počítání: zbytek příkladů II/6,7.