Program jednotlivých přednášek a cvičení
Přednáška č. 1 - 3.10.2016
Úvodní informace - stručný obsah kurzu, předpokládané znalosti a souvislosti s dalšími
oblastmi matematiky. Začátek oddílu V.1 - až po Příklad V.1(2).
Cvičení č. 1 - 3.10.2016
Úvodní informace o zápočtech, Příklady V.1(3)-(5),(7) (příklad (4) jen stručně zmíněn; z příkladu (7) zbývá
ukázat lokální nekonvexitu)
Přednáška č. 2 - 5.10.2016
Oddíl V.1 - od poznámky za Příklady 1 až do Věty 4 (bod (1) včetně důkazu, formulace bodu (2),
jednoznačnost, konstrukce příslušné topologie a důkaz, že jde o topologii)
Přednáška č. 3 - 10.10.2016
Dokončení důkazu Věty 4(2), oddíl V.2 (spojitá a omezená lineární zobrazení) - Tvrzení 6 a 7, definice
omezenosti v TVS, implikace (i) implikuje (ii) z Tvrzení 8
Cvičení č. 2 - 10.10.2016
Prostor Lp[0,1] pro p∈(0,1) - jediné otevřené konvexní množiny jsou prázdná množina
a celý prostor, jediný spojitý lineární funkcionál je nulový; prostor lp pro p∈(0,1)
- každá neprázdná otevřená konvexní množina je neomezená v metrice z definice prostoru; Příklady V.5(1,2), v rámci toho
charakterizace konvexních množin ve vektorových prostorech (A je konvexní, právě když pro
každá α,β>0 platí (α+β)A=αA+βA), nejsilnější lokálně konvexní topologie, v ní jsou všechny
lineární funkcionály spojité.
Přednáška č. 4 - 12.10.2016
Tvrzení 8 a důkaz implikace (ii) implikuje (i) pro prostory s translačně invariantní metrikou, definice
izomorfismu do a na, izomorfní prostory. Dále oddíl V.3 - prostory konečné a nekonečné dimenze (celý).
Přednáška č. 5 - 17.10.2016
Oddíl V.4 (metrizovatelnost TVS) - z důkazu Tvrzení 13 pouze konstrukce funkce p, vlastnosti
nedokazovány. Oddíl V.5 (Minkowského funkcionály, pseudonormy a generování lokálně konvexních topologií)
- definice, Tvrzení 15, Lemma 16, Tvrzení 17 (z něho dokázány zatím jen druhé a třetí tvrzení).
Cvičení č. 3 - 17.10.2016
Konvexní obal vyvážené množiny je vyvážený, vyvážený obal konvexní množiny nemusí být konvexní;
nutná podmínka pro translačně invariantní metriku, aby generovala lineární topologii, diskrétní metrika
ji nesplňuje; reprezentace spojitých lineárních funkcionálů na lp
pro p∈(0,1) pomocí prvků l∞; spojité lineární funkcionály na prostoru testovacích
funkcí jsou právě distribuce; porovnání omezených a metricky omezených množin v normovaných lineárních prostorech,
v TVS generovaných translačně invariantní metrikou a v prostoru Lp(μ) pro p∈(0,1)
Přednáška č. 6 - 19.10.2016
Dokončení důkazu Tvrzení 17, pokračování oddílu V.5 až do Věty 23 včetně.
Přednáška č. 7 - 24.10.2016
Tvrzení 24, pak oddíl V.6 (F-prostory a Fréchetovy prostory) - do Tvrzení 28 včetně.
Přitom z Příkladů 25 nebyl dokázán bod (2) a z bodu (3) jen první případ, u ostatních
bylo řečeno, že se dokazují podobně.
Cvičení č. 4 - 24.10.2016
Translačně invariantní metriky, které generují lineární topologii; zachovávání omezenosti a totální omezenosti
na sjednocení, součet, uzávěr a vyvážený obal; vyvážený obal kompaktní množiny je kompaktní; konvexní
obal kompaktní množiny v TVS konečné dimenze je kompaktní; úplnost Lp(μ) pro p∈(0,1)
(tj. Příklad V.25(2)); absolutně konvexní obal omezené množiny v LCS je omezená množina; konvexní obal
omezené množiny v TVS nemusí být omezený (příklad v Lp([0,1])); konvexní obal kompaktní
množiny v TVS nemusí být omezený (návod pro příklad v Lp([0,1])).
Přednáška č. 8 - 26.10.2016
Dokončení oddílu V.6, oddíl V.7 (oddělování v lokálně konvexních prostorech) do Důsledku 34 včetně.
Přednáška č. 9 - 31.10.2016
Dodatek k důkazu Věty 31; dokončení oddílu V.7 (Věta 35 a Důsledek 36); začátek Kapitoly VI (Slabé topologie),
speciálně oddílu VI.1 (obecné slabé topologie) - úvodní definice a Tvrzení 1(1-3).
Cvičení č. 5 - 31.10.2016
Pro p∈(0,1) je lp lineárně izometrické podprostoru Lp([0,1]), což ukazuje,
že Hahn-Banachova rozšiřovací věta neplatí v TVS; příklad dvou disjunktních uzavřených konvexních
množin v Banachově prostoru c0 nebo lp pro p∈[1,∞), které nelze
oddělit nenulovým spojitým lineárním funkcionálem; metrika na prostoru (tříd ekvivalencí)
měřitelných funkcí na [0,1] definovaná předpisem ρ(f,g)=∫01
min{1,|f(x)-g(x)|} dx definuje lineární topologii; identita z C[0,1] s topologií bodové konvergence
do C[0,1] s metrikou ρ je omezené sekvenciálně spojité a přitom nespojité zobrazení.
Přednáška č. 10 - 2.11.2016
Dokončení oddílu VI.1 (od Tvrzení 1(4) do konce, přitom z Příkladů 2 byly probrány body (1)-(3)); oddíl
VI.2 (slabé topologie na LCS) - do Věty 8 včetně.
Přednáška č. 11 - 7.11.2016
Dokončení oddílu VI.2 (Tvrzení 9), dále oddíl VI.3 (poláry a jejich aplikace) - do Věty 15, včetně první části jejího důkazu.
Cvičení č. 6 - 7.11.2016
Topologie bodové konvergence na prostoru spojitých funkcí, topologie bodové konvergence na podmnožině,
spojité lineární funkcionály v těchto topologiích; porovnání slabých* topologií na duálu k normovanému
prostoru a jeho zúplnění; porovnání slabé a slabé* topologie na duálu k normovanému prostoru;
uzávěr sféry je koule ve slabé topologii na nekonečněrozměrném normovaném prostoru; příklad
normově uzavřené konvexní podmnožiny prostroru l1=(c0)*, která není
slabě* uzavřená; slabá konvergence kanonických vektorů v c0 a v lp
(p∈(1,∞)), slabá uzavřenost množiny kanonických vektorů v l1;
slabá konvergence ortonormální posloupnosti v Hilbertově prostoru; separabilita normovaného prostoru je ekvivalentní
slabé separabilitě
Přednáška č. 12 - 9.11.2016
Dokončení oddílu VI.3 (zbývající část důkazu Věty 15, dále až do konce oddílu); začátek kapitoly VII (základy
vektorové integrace) a oddílu VII.1 (měřitelnost vektorových funkcí) - do Tvrzení 1(b) včetně.
Přednáška č. 13 - 14.11.2016
Oddíl VII.1 - od Tvrzení 1(c) do Věty 5 včetně.
Cvičení č. 7 - 14.11.2016
Slabá* topologie na jednotkové kouli l∞ splývá s topologií bodové konvergence;
podobné tvrzení platí pro slabou topologii na lp pro p∈(1,∞) a na c0
a pro slabou* topologii na l1; aplikace předchozího na charakterizaci slabě* resp. slabě konvergentních
posloupností jako omezených bodově konvergentních posloupností; zmínka o Schurově větě, která říká, že
na l1 splývá slabá konvergence posloupností s normovou konvergencí; porovnání slabé topologie a topologie bodové
konvergence na prostoru C([0,1]) (bodově konvergentní posloupnost nemusí být omezená; posloupnost je
slabě konvergentní, právě když je stejně omezená a bodově konvergentní; slabá topologie na jednotkové kouli
nesplývá s topologií bodové konvergence); pokud fn jsou silně měřitelné, které skoro všude slabě konvergují
k f, pak f je silně měřitelná; Příklad VII.6; poznámka o implikaci borelovsky měřitelná implikuje
silně měřitelná a její souvislosti s reálně měřitelnými kardinály.
Přednáška č. 14 - 16.11.2016
Oddíl VII.2 (integrovatelnost vektorových funkcí) - do Tvrzení 10 včetně (důkaz Tvrzení 7(a) nebyl proveden, jelikož je
zcela standardní).
Přednáška č. 15 - 21.11.2016
Dokončení oddílu VII.2 - od Tvrzení 11 do konce oddílu.
Dále oddíl VII.3 (Lebesgue-Bochnerovy prostory) do Věty 14(a) včetně (důkaz posledního tvrzení
pro p=∞ nebyl proveden, jelikož je snadný).
Cvičení č. 8 - 21.11.2016
Měřitelnost zobrazení s hodnotami v lp pro p∈[1,∞) nebo c0, podmínky
bochnerovské a slabé integrability, zejména pro prostor c0, příklady rozlišující jednotlivé druhy integrálů.
Měřitelnost a integrovatelnost funkcí t↦ψ(t)·χ(0,t) a t↦ψ·χ(0,t).
Přednáška č. 16 - 23.11.2016
Dokončení oddílu VII.3 - od Věty 14(b) do konce oddílu. Dále měřitelnost a integrovatelnost funkce t↦ψ·χ(0,t)
a funkce t↦χ(0,ψ(t)).
Přednáška č. 17 - 28.11.2016
Začátek kapitoly VIII (Banachovy algebry a Gelfandova transformace), oddíl VIII.1 (Banachovy algebry -
základní pojmy a vlastnosti) - do Tvrzení 4 včetně. Příklady 1(8,9) byly vynechány.
Cvičení č. 9 - 28.11.2016
Měřitelnost a integrovatelnost funkce t↦χ(0,ψ(t)) (dokončení).
Dále příklady Banachových algeber - alebry s levými jednotkami, s pravými jednotkami;
algebra (Cn,||·||p) s bodovým násobením a její renormace;
algebra lp(Γ) s bodovým násobením; různé normy na algebře matic; algebra s triviálním
součinem a přidání jednotky k ní; algebra l1(G), kde G je komutativní grupa
(což je obecnější verze Příkladu 1(8)).
Přednáška č. 18 - 30.11.2016
Dokončení oddílu VIII.1 - od definice inverzního prvku do konce oddílu.
Dále oddíl VIII.2 (Spektrum a jeho vlastnosti) - do Tvrzení 8(iv) včetně.
Přednáška č. 19 - 5.12.2016
Pokračování oddílu VIII.2 - od Tvrzení 8(v) do Důsledku 13 včetně. Poznámka za Větou 9 byla jen stručně
zmíněna. Na závěr byla ukázána triviální část Tvrzení 14
Cvičení č. 10 - 5.12.2016
Stručná informace o kompaktních a lokálně kompaktních abelovských grupách, o Haarově míře a
o konvoluční algebře L1(G) (což je obecnější verze Příkladu 1(7-9)). Dále reprezentace
algebry l1(Zn) pomocí matic, invertibilní prvky a spektrum, speciálně v
l1(Z2); spektrum a rezolventní funkce nilpotentního prvku algebry, aplikace
pro Jordanovu buňku; spektrum a rezolventní funkce idempotentního prvku algebry.
Přednáška č. 20 - 7.12.2016
Dokončení oddílu VIII.2 - Tvrzení 14 a Důsledek 15. Dále oddíl VIII.3 (Holomorfní funkční kalkulus)
- Tvrzení 16, definice holomorfního kalkulu a část důkazu Věty 17.
Přednáška č. 21 - 12.12.2016
Dokončení oddílu VIII.3 - další část důkazu Věty 17 (podrobný důkaz je u textů k přednášce).
Dále oddíl VIII.4 (Ideály, komplexní homomorfismy a Gelfandova transformace) - do Tvrzení 21 včetně důkazu pro algebry s jednotkou.
Příklady 19 byly jen stručně zmíněny.
Cvičení č. 11 - 12.12.2016
Přidání jednotky k algebře C0(T) a K(X);
aplikace holomorfního kalkulu na diagonální matici, na nilpotentní prvek, na Jordanovu buňku;
holomorfní kalkulus v algebře C(K); komplexní homomorfismy na C(K), na l1(G), speciálně
na l1(Z).
Přednáška č. 22 - 14.12.2016
Dokončení oddílu VIII.4 - od druhé části Tvrzení 21 do konce oddílu.
Přednáška č. 23 - 19.12.2016
Oddíl VIII.5 (C*-algebry - základní vlastnosti) - do Tvrzení 30 včetně. Přitom Příklady 25(2,5) byly
jen stručně zmíněny a z důkazu Tvrzení 29 bylo jen základní schéma.
Cvičení č. 12 - 19.12.2016
Stručná informace o komplexních homomorfismech na L1(G), duální grupa, aplikace
pro G=Rn,T,Z, vztah Gelfandovy transformace k Fourierově transformaci a Fourierovým
řadám, spektrum prvku l1(Z) pomocí Gelfandovy transformace, vztah l1(Z)
k Wienerově algebře funkcí s absolutně konvergentní Fourierovou řadou. Dále Příklad VIII.31 a jeho
použití k důkazu Důsledku VIII.35.
Přednáška č. 24 - 21.12.2016
Dokončení oddílu VIII.5 - Tvrzení 32 a Věta 33, stručně okomentován Důsledek 34.
Dále oddíl VIII.6 (spojitý funkční kalkulus) - Tvrzení 36, Věta 37 řečena bez důkazu,
dále konstrukce a vlastnosti spojitého funkčního kalkulu pro C*-algebry s jedntokou, tj. Věta 38.
Věta 39 byla jen stručně zmíněna.
Přednáška č. 25 - 4.1.2017
Oddíl IX.1 (různé typy operátorů na Hilbertově prostoru) - do Tvrzení 5 včetně. Přitom body (d),(e) z Tvrzení 2
nebyly dokázány, důkaz Lemmatu 3 se udělá přímým výpočtem, který nebyl proveden.
Přednáška č. 26 - 9.1.2017
Dokončení oddílu IX.1 - od Tvrzení 6 do konce oddílu. Druhá část Věty 8 nebyla dokázána, Tvrzení 10 bylo
přeskočeno.
Cvičení č. 13 - 9.1.2017
Izometrie na reálném Hilbertově prostoru s triviálním numerickým rangem.
Diagonální operátory na l2(Γ) - spektrum, normalita, charakterizace kompaktnosti,
aplikace spojitého kalkulu; vztah k Hilbert-Schmidtově větě; Tvrzení IX.10 jako důsledek.
Operátory na L2(μ) definované pomocí násobení omezenou funkcí - spektrum, normalita, aplikace
spojitého kalkulu. Normální operátory jsou unitárně ekvivalentní operátorům násobení (bez důkazu),
ilustrace pro operátor posunutí na l2(Z).
Přednáška č. 27 - 11.1.2017
Odíl IX.2 (měřitelný kalkulus a spektrální rozklad). Tvrzení 12 nebylo dokázáno. Konstrukce spektrální míry,
Tvrzení 13 stručně okomentováno, konstrukce měřitelného kalkulu, důkaz multiplikativity (jako ilustrace metody
důkazu Věty 15), definice spektrální míry operátoru a důkaz vlastností (i) a (v) abstraktní spektrální míry,
definice integrálu z omezené funkce podle spektrální míry, stručný komentář o Větě 18 a Důsledku 20.
