Vzorce pro goniometrické funkce

V této poslední kapitole uvedeme přehled základních vztahů mezi jednotlivými goniometrickými funkcemi sinus, kosinus, tangens a kotangens a také připojíme jejich jednoduchý důkaz nebo alespoň poznámku, jak by se daný vztah odvodil.

Základní goniometrické vzorce

Věta. Pro každé platí:

Důkaz

Applet k důkazu

Vezměme jednotkovou kružnici se středem v počátku soustavy souřadnic, a vyznačme úhel o velikosti . Bod, ve kterém protla polopřímka určující velikost úhlu označíme . Tento bod má souřadnice , kde souřadnice je funkční hodnota a souřadnice je funkční hodnota . Vyznačíme ještě bod na ose . Z pravoúhlého trojúhelníka vyjádříme pomocí Pythagorovy věty tuto rovnost . Odtud již plyne požadovaný vztah .

Věta. Pro každé, platí:

Důkaz

Funkce tangens a kotangens vyjádříme pomocí jejich definičních vztahů z funkcí sinus a kosinus .

>>nahoru<<

Součtové vzorce pro funkce pro sinus a kosinus

Věta. Pro každá dvě reálná čísla , platí:

Důkaz

Vezměme dva jednotkové vektory . Podle jejich složek je zřejmé, že vektor svírá s osou úhel a vektor svírá s osou úhel . Vektory svírají úhel . Jestliže si celou situaci nakreslíme, tak zjistíme, že platí , tedy .

Z kapitoly Goniometrické funkce ostrého úhlu víme, že platí následující vztah , tedy v našem případě .
Úhel se vypočítá pomocí skalárního součinu , .

Vezmeme-li obě vyjádření , , vyjde nám požadovaná rovnost .
Ostatní vzorce bychom dokázali obdobně.

Užití součtových vzorců

Díky součtovým vzorcům umíme dokázat mimo jiné také tyto následující vztahy.

Důkaz

Dokážeme pouze první vztah, ostatní lze dokázat obdobně
.

>>nahoru<<

Vzorce pro funkce sinus a kosinus argumentu a

Věta. Pro každé reálné číslo platí:

Důkaz

Tento vzorec snadno odvodíme ze součtového vzorce, jestliže vezmeme součet (). Tedy .

Věta. Pro každé reálné číslo platí:

Důkaz

I tento vzorec odvodíme ze součtového vzorce, jestliže vezmeme součet (). Tedy .

Věta. Pro každé reálné číslo platí:

Důkaz

Nejprve vyjádříme funkci jako součet polovičních úhlů, poté použijeme součtový vzorce

.

Vezmeme nyní první a poslední výraz a vyjádříme druhou mocninu sinu polovičního úhlu . Odtud po odmocnění získáme požadovaný vztah .

Věta. Pro každé reálné číslo platí:

Důkaz

Postupujeme obdobně jako v důkazu předchozího vzorce. Vyjádříme funkci jako součet polovičních úhlů, poté použijeme součtový vzorce ,

.

Tentokrát ovšem z prvního a posledního výrazu vyjádříme druhou mocninu kosinu polovičního úhlu . Nakonec celý vztah odmocníme .

>>nahoru<<

Vzorce pro součet a rozdíl hodnot funkcí sinus a kosinus

Věta. Pro každá dvě reálná čísla , platí:

Důkaz

V důkazu těchto vzorců využijeme součtových vzorců a také toho, že si takto šikovně rozepíšeme argumenty , .

Ukážeme pouze důkaz prvního vztahu, přičemž ostatní dokážeme obdobně.