Pro poloměr kružnice opsané trojúhelníku platí .
Označme střed strany .
Trojúhelník je pravoúhlý s pravým
úhlem u vrcholu .
Velikost úhlu je ,
je-li ,
nebo
pro .
V obou případech tedy platí
.
Zbývá uvážit pravoúhlý trojúhelník s pravým
úhlem u vrcholu , strana
je průměrem kružnice ,
která je opsaná tomuto trojúhelníku.
Jinak řečeno a
.
Za těchto předpokladů opět platí vztah .
Další vyjádření pro poloměr kružnice opsané dostaneme cyklickou záměnou.
1.
V trojúhelníku je ,
, poloměr kružnice tomuto trojúhelníku opsané je
.
Vypočítejte délky stran trojúhelníku.
2. Vypočítejte obvod trojúhelníku, který je vepsán do kružnice o poloměru a jehož dva vnitřní úhly mají velikosti a .
Vyjdeme ze vzorce pro výpočet obsahu trojúhelníku , kde je výška na stranu . Označme patu kolmice výšky .
1)
Je-li trojúhelník ostroúhlý, tedy
, pak
, tj. a
tudíž .
2)
Je-li trojúhelník pravoúhlý,
tedy ,
pak tudíž ,
.
3)
Je-li trojúhelník tupoúhlý, tedy
,
pak ,
přičemž levá strana se dá upravit takto
(viz Vzorce pro goniometrické funkce).
Jestliže nyní dosadíme do původního vzorce, získáme vyjádření obsahu
.
Další vzorce dostaneme cyklickou záměnou.
1. Vypočítejte obsah trojúhelníku , jestliže , , .
2. Vypočítejte délky stran v trojúhelníku , jestliže , , .
Pro obsah každého trojúhelníku , jehož strany mají délky , platí , kde .
Vyjdeme z předchozí věty pro výpočet obsahu trojúhelníku .
Vyjádříme pomocí goniometrického vzorce
a za ,
dosadíme vyjádření z věty o
polovičních úhlech , čili , ,
kde .
Po dosazení nám vyjde vztah .
Vypočítejte pomocí Heronova vzorce obsah trojúhelníku o stranách .
Nechť je obsah trojúhelníku , jehož strany mají délky . Potom pro poloměr kružnice opsané tomuto trojúhelníku platí .
Tento vzorec vyplývá ze sinové věty a z dříve dokázaného vztahu ,
kde je velikost vnitřního úhlu v
naproti straně .
Jestliže dosadíme do vzorce
za
výraz , dostaneme .
Vypočítejte poloměr kružnice opsané trojúhelníku a stranách .
Nechť je obsah trojúhelníku , jehož strany mají délky . Potom pro poloměr kružnice vepsané trojúhelníku platí , kde .
Nechť je střed kružnice vepsané
.
Protože se skládá ze 3 nepřekrývajících
se trojúhelníků , ,
,
je jeho obsah roven součtu obsahů těchto tří trojúhelníků, které mají stejnou výšku
, tj.
.
V trojúhelníku o stranách vypočítejte poloměr kružnice vepsané.