Definice. Je dán pravoúhlý trojúhelník s jedním vnitřním
úhlem , jehož velikost je z intervalu .
Definujme tyto goniometrické funkce:
Poznámka. Většinou užíváme následujícího značení .
Pro schematický zápis použijeme trojúhleník .
Funkční hodnoty goniometrických funkcí pro různé velikosti úhlu
najdeme v tabulkách nebo je vypočítáme pomocí kalkulačky, případně k jejich určení
použijeme applet, který najdeme níže v této kapitole.
Předtím si ještě odvodíme funkční hodnoty pro úhly o velikostech ,
pro něž lze tyto hodnoty přesně určit.
A.
Je dán čtverec se stranou
, pomocí Pythagorovy věty vypočítáme délku jeho úhlopříčky
.
Z vlastností čtverce víme, že úhlopříčka a strana svírají úhel o velikosti .
Vyjádříme funkční hodnoty pro tento úhel :
B.
Je dán rovnostranný trojúhelník se stranou délky .
Dle Pythagorovy věty vypočítáme výšku .
sinus | |||
---|---|---|---|
kosinus | |||
tangens | |||
kotangens |
Výpočet velikosí úhlů a určení funkčních honot u goniometrických funkcí
>>nahoru<<Poznámka. Tabulka s některými dalšími funkčními hodnotami je uvedena v kapitole Určování hodnot goniometrických funkcí. Na tomto místě nelze například odvodit funkční hodnoty pro nulový úhel, protože neexistuje trojúhelník, který by měl jeden úhel nulový.
Z předchozích výpočtů jsme si mohli všimnout následujících vztahů:
Stačí si uvědomit, že v pravoúhlém trojúhelníku
platí:
1. Pomocí kalkulačky vypočítejte s přesností na dvě desetinná místa sinus těchto úhlů .
2. Pro jaký úhel je jeho sinus roven ?
3. Pomocí kalkulačky vypočítejte s přesností na dvě desetinná místa kosinus těchto úhlů .
4. Pro jaký úhel je jeho kosinus roven ?
5. Pomocí kalkulačky vypočítejte s přesností na dvě desetinná místa tangens těchto úhlů .
6. Pro jaký úhel je jeho tangens roven ?
7.
Pomocí kalkulačky vypočítejte s přesností na dvě desetinná místa kotangens těchto úhlů
.
8. Pro jaký úhel je jeho kotangens roven ?
9. Vypočtěte velikost úhlu , který svírají tečny vedené bodem ke kružnici , je-li .
10. Dělostřelecká baterie je umístěna na útesu vysokém nad hladinou moře. Určete vzdálenost baterie od lodi, která je z útesu pozorována v hloubkovém úhlu .
11. V kosočtverci je a velikost úhlu je . Vypočítejte poloměr kružnice, která je tomuto kosočtverci vepsána.
12. Mostní kruhový oblouk má rozpětí a výšku . Vypočtěte velikost příslušného středového úhlu .