Pythagorova věta

Pravoúhlý trojúhelník je trojúhelník, jehož jeden vnitřní úhel je pravý. Zbývající úhly musí být ostré, protože součet velikostí vnitřních úhlů v každém trojúhelníku je 180°.
Přeponou nazýváme stranu ležící proti pravému úhlu, odvěsnami pak strany ležící proti zbývajícím úhlům.

Pythagorova věta

V každém pravoúhlém trojúhelníku platí , kde je délka přepony, , jsou délky jeho odvěsen.

Jiná formulace věty. Obsah čtverce sestrojeného nad přeponou pravoúhlého trojúhelníku se rovná součtu obsahů čtverců nad jeho odvěsnami.

Věta obrácená. Jsou-li délky stran v trojúhelníku a platí-li pro ně , pak je trojúhelník pravoúhlý a je délka přepony.

Důkaz

Představme si libovolný pravoúhlý trojúhelník s délkou přepony a odvěsnami , . Sestrojíme nyní dva shodné čtverce o straně a do každého z nich umístíme čtyři shodné . Obsahy vybarvených částí musí být stejné. V levém obrázku jsou vybarveny dva čtverce, které mají obsahy a . V pravém obrázku má vybarvený čtyřúhelník délky všech stran a protože , má čtyřúhelník všechny vnitřní úhly pravé, je to tedy čtverec a jeho obsah je . Vybarvené části mají stejný obsah a proto platí .

>>nahoru<<

Příklady

Určete délku stěnové a tělesové úhlopříčky v krychli o hraně .
stěnová úhlopříčka:

Máme čtverec o straně .
Vypočítáme úhlopříčku, kterou označíme .

tělesová úhlopříčka:

Použijeme pravoúhlý trojúhelník o stranách ,
, kde tělesová úhlopříčka je přeponou, označíme ji .

Stěnová úhlopříčka má délku , tělesová úhlopříčka .





>>>nahoru<<