Orientovaný úhel

Orientovaným úhlem v rovině rozumíme uspořádanou dvojici polopřímek se společným počátkem. Uspořádanou dvojici polopřímek chápeme tak, že jedna z nich je první, nazýváme ji počátečním ramenem orientovaného úhlu , a druhou nazýváme koncovým ramenem orientovaného úhlu.
Máme-li konkrétně polopřímky: počáteční , koncová , vzniká nám orientovaný úhel. Orientovaný úhel označujeme . Nulové orientované úhly nazýváme úhly, jestliže polopřímky = .

Jistě nás napadá otázka, zda jsou úhly a stejné?
Nejsou. Vysvětlíme si to pomocí obrázku.
Polopřímky , rozdělují rovinu na dva úhly. Velikosti těchto úhlů označíme ,. Platí (v míře obloukové), resp. (v míře stupňové). Tyto úhly si můžeme představit jako množiny všech polopřímek, které vznikly otáčením polopřímky kolem bodu do polohy polopřímky , a to v jednom ze dvou opačných smyslů. Buď proti směru otáčení hodinových ručiček (zde budeme mluvit o kladném smyslu otáčení), nebo ve směru pohybu hodinových ručiček (jedná o záporný smysl otáčení).

Velikost toho z úhlů ,, který opíše polopřímka při otočení z počátečního ramene do koncového ramene v kladném smyslu se nazývá

. Pro základní velikost platí, že , resp..

Velikostí orientovaného úhlu nazýváme každé z reálných čísel (v míře obloukové), resp. (v míře stupňové), kde .
Číslo určíme takto

• je-li polopřímka =, je , resp.
• je-li polopřímka , je velikost úhlu, který vznikne otočením počátečního ramene do polohy koncového ramene v kladném smyslu otáčení (tj. proti pohybu hodinových ručiček)

Poznámka. Při svém otočení totiž polopřímka nemusí opsat jen úhel , ale úhel větší. Jedna její "plná otáčka" v kladném směru je . Takto se může otáčet vícekrát, přičemž velikosti úhlů jsou , , atd.
Při záporném směru jde o úhel o velikosti a při několikanásobném otočení jsou velikosti úhlů tyto , . Odtud plyne , kde .

Součtem orientovaných úhlů , nazýváme úhel , kde koncové rameno prvního z nich je počátečním ramenem druhého. Je-li velikost prvního a druhého , je velikost součtu , kde .

Rozdílem úhlů , nazýváme úhel (v uvedeném pořadí). Je-li velikost prvního a druhého , je velikost rozdílu , kde .

>>nahoru<<

Příklady

1. Určete základní velikost orientovaného úhlu, jehož jedna velikost je
a)

Zbytek po dělení je základní velikost původního úhlu.

b)



c)


d)

2. Od hodin minut se minutová ručička hodinek otočila o . Kolik hodin potom bylo?

Ručička se tedy otočila o plných otáček, tudíž hodinky ukazují hodin minut.







>>nahoru<<