Zvolíme kartézskou soustavu souřadnic, tj. dvě na sebe kolmé číselné osy (osy a ) se společným počátkem , přičemž na obou osách je stejná délková jednotka. Vezměme bod jako obraz čísla 1 na ose . Nyní sestrojíme orientovaný úhel o velikosti s počátečním ramenem . Ke každému reálnému číslu lze přiřadit právě jeden výše popsaný orientovaný úhel . Tento orientovaný úhel se nazývá orientovaný úhel o velikosti v základní poloze.
Sestrojíme jednotkovou kružnici (tj. kružnice, kde ) se středem a označíme její průsečík s koncovým ramenem orientovaného úhlu v základní poloze. Bodem vedeme kolmici k ose , jejich průsečík je na ose obrazem reálného čísla a dále bodem vedeme kolmici k ose , jejich průsečík je na ose obrazem reálného čísla . O číslech , říkáme, že jsou první a druhou souřadnicí bodu a píšeme .
Definice. Druhou souřadnici bodu
jednotkové kružnice na koncovém rameni orientovaného úhlu
v základní poloze nazýváme sinus
a jeho první souřadnici nazveme kosinus .
Používáme značení ,
.Je tedy ,
, pro každé .
Poznámka. Funkce sinus a kosinus jsou definovány pomocí jednotkové kružnice, proto jsou nezávislé na volbě délkové jednotky.
Uvedenými definičními vztahy je každému číslu přiřazeno právě jedno reálné číslo a právě jedno reálné číslo , tj. tyto vztahy udávají funkční předpisy funkce sinus a funkce kosinus , se nazývá argument funkce.
Grafy funkcí sinus a kosinus argumentu
sestrojíme na základě jejich definice pomocí souřadnic bodů
jednotkové kružnice se středem v počátku
kartézské soustavy souřadnic.
Graf funkce sinus se nazývá sinusoida a graf funkce
kosinus se nazývá kosinusoida . Přitom kosinusoida
je posunutá sinusoida o ve směru záporné poloosy
.
Definičním oborem funkcí sinus a kosinus je množina ,
proto na omezené nákresně můžeme zobrazit jen části jejich grafů.
Nejprve probereme podrobně každou vlastnost a na konci uvedeme shrnující tabulku.
Definiční obor obou funkcí je .
Neexistuje , ke kterému
bychom nepřiřadili žádnou funkční hodnotu.
U obou funkcí to je interval .
Pro každé je přímka
sečnou nebo tečnou jednotkové kružnice.
Získáme tak vždy alespoň jeden bod kružnice, jehož první (druhá) souřadnice
je hodnotou funkce () pro
některé .
Je-li , pak je přímka o rovnici
vnější přímkou kružnice .
Z této vlastnosti funkce plyne také následující vlastnost.
Obě funkce jsou omezené zdola číslem a shora číslem
.
Tedy platí, že pro každé je
a
.
Plyne to z jednotkové kružnice.
Funkce sinus má maximum v bodech
,
minimum v bodech
,
kde .
Funkce kosinus má maximum v bodech
,
minimum v bodech ,
kde .
Vše plyne z jednotkové kružnice.
Sinus je funce lichá a kosinus je funkce sudá.
Z definice liché funkce plyne .
Z definice sudé funkce plyne .
Tyto vlastnosti můžeme snadno ověřit pomocí
jednotkové kružnice. Obě funkce jsou definovány na .
Také to můžeme poznat z grafů obou funkcí, graf funkce sinus je souměrný podle
počátku a graf funkce kosinus je souměrný podle osy .
Obě jsou periodické, jejich nejmenší perioda je .
Tedy platí, že pro každé a pro každé
Například je to vidět z grafů funkcí nebo z
jednotkové kružnice.
Můžeme díky tomu zkoumat funkce a
na intervalu
a popíšeme tak jejich chování na celém .
Funkce sinus je rostoucí v intervalech
a klesající v intervalech ,
kde .
Funkce kosinus je rostoucí v intervalech
a klesající v intervalech,
kde .
Intervaly snadno určíme z grafů funkcí.
Funkce sinus jich nabývá v bodech , tj.
, .
Funkce kosinus jich nabývá v bodech , tj.
,
.
Vyčteme to jednotkové kružnice.
Ty určíme nejlépe z grafů, jinak je lze vypočítat z příslušných goniometrických nerovností.
Funkce sinus má kladné hodnoty v intervalech
a záporné hodnoty v intervalech ,
.
Funkce kosinus má kladné hodnoty v intervalech
a záporné hodnoty v intervalech ,
.
Nejlépe je to vidět z grafů funkcí.
Definiční obor funkce | ||
---|---|---|
Obor hodnot | ||
Sudost,lichost funkce | lichá funkce | sudá funkce |
Periodičnost funkce | periodická s periodou nejmenší perioda je |
periodická s periodou nejmenší perioda je |
Omezenost, neomezenost funkce |
omezená funkce | omezená funkce |
Intervaly, v nichž je funkce rostoucí |
||
Intervaly, v nichž je funkce klesající |
||
Maximum funkce v bodě | pro | pro |
Minimun funkce v bodě | pro | pro |
Body,ve kterých jsou funční hodnoty nulové () |
||
Body,ve kterých jsou funční hodnoty kladné () |
||
Body,ve kterých jsou funční hodnoty záporné () |
Čísla patřící do oboru hodnot jsou
Výsledkem jsou hodnoty
2.
Existuje , pro něž je
?
3. Dokažte, že platí:
a)4.
Do kterého z intervalů , ,
, patří
, pro něž je
a) a zároveň
Výsledkem je interval .
b) a zároveň ?Výsledkem je interval .
5. Vypočítejte:
Najdeme je v kapitole Goniometrické funkce ostrého úhlu
=
6.
Určete pomocí jednotkové kružnice všechna , pro která platí:
a)
7.
Zapište množinu všech , pro která platí:
a) a zároveň
Použijeme jednotkovou kružnici.
platí pro
platí pro
b) a zároveň
platí pro
platí pro
8.
Určete definiční obory těchto funkcí:
a)