Konzultační hodiny ve zkouškovém období: úterý kromě 7.2. 13:00-14:00, K479.
Rozvrh v ZS 2011/12
Matematická analýza II pro učitele - program ZS 2011/12:
(X) Číselné řady
(XI) Posloupnosti a řady funkcí
(XII) Mocninné řady
(XIII) Fourierovy řady
Obsah přednášek:
5.10. Číselné řady: definice, částečné součty, součet řady. Konvergentní/divergentní
řada. Nutná podmínka konvergence řady. Bolzanova-Cauchyho podmínka pro řady. Aritmetika
součtů řad. Příklady: geometrická řada, harmonická řada, alternující řady. Absolutní/neabsolutní konvergence.
Srovnávací kritérium.
12.10. Limitní srovnávací kritérium. Cauchyho odmocninové kritérium. D'Alembertovo
podílové kritérium. Raabeho kritérium. Příklady. Leibnizovo kritérium.
19.10. Podmínka monotonie v Leibnizově kritériu je podstatná. Integrální kritérium.
Dirichletovo a Abelovo kritérium. Příklady. Přerovnání řad - motivace.
26.10. Přerovnání řad - definice. Věty o přerovnání absolutně a neabsolutně konvergentních
řad. Posloupnosti funkcí: definice bodové a stejnoměrné konvergence. Bolzanova-Cauchyho podmínka
pro stejnoměrnou konvergenci. Stejnoměrná limita spojitých funkcí je spojitá. Příklady.
2.11. Lokálně stejnoměrná konvergence - definice, příklady a metody vyšetřování. Mooreova-Osgoodova věta.
9.11. Záměna stejnoměrné limity a integrálu. Weierstrassova věta o derivaci. Aplikace.
16.11. Diniho věta. Weierstrassova věta o aproximaci spojité funkce polynomy (bez důkazu).
Stejnoměrná konvergence řad funkcí: definice, nutná podmínka. Weierstrassovo kritérium. Leibnizovo,
Dirichletovo a Abelovo kritérium stejnoměrné konvergence. Příklady.
23.11. Mocninné řady: Gaussova rovina a její vlastnosti, limita posloupnosti komplexních čísel,
řady v komplexním oboru, jejich součty. Zavedení komplexní exponenciály. Mocninné řady, poloměr a kruh konvergence.
Příklady. Mocninná řada konverguje na svém kruhu konvergence absolutně a lokálně stejnoměrně, tedy její součet
je na kruhu konvergence spojitou funkcí.
30.11. Limes superior a limes inferior posloupnosti reálných čísel, limsup a liminf jako hromadné body.
Odmocninové a podílové kritérium s vyžitím limsup, liminf. Cauchyho-Hadamardův vzorec pro výpočet poloměru konvergence.
Příklad. Derivace v komplexním oboru. Derivace mocninné řady člen po členu zachovává poloměr konvergence.
7.12. Mocninnou řadu lze na kruhu konvergence derivovat a integrovat člen po členu. Důsledky: existence derivací všech řádů
a jednoznačnost koeficientů řady. Taylorův rozvoj funkce. Analytické funkce. Komplexní exponenciála. Cauchyho součin, věta
o Cauchyho součinu absolutně konvergentních řad.
14.12. Vlastnosti komplexní exponenciály. Komplexní sin, cos, sinh, cosh, jejich vlastnosti.
Připomenutí Taylorovy věty o zbytku. Komplexní logaritmus. Příklad neanalytické nekonečně diferencovatelné funkce.
21.12. Funkce (1 + x)^a. Abelova věta o limitním přechodu v krajním bodě. Aplikace: rozšíření arctg. Fourierovy řady:
trigonometrický rozvoj funkce, Fourierova řada v reálném a komplexním oboru. Nástin početních metod.
4.1. Po částech spojitě diferencovatelné funkce. Věta o koeficientech
Fourierova rozvoje. Lineární nezávislost a ortogonalita trigonometrického systému.
Jordanovo-Dirichletovo kritérium. Parsevalova rovnost v prostoru funkcí. Příklady.
11.1. Ortogonální báze v prostoru se skalárním součinem, abstraktní Fourierovy řady.
Besselova nerovnost, Parsevalova rovnost. Aplikace na prostory funkcí.
Podmínky udělení zápočtu pro studenty denního studia: zisk alespoň 7,5 bodu z 15 v každé ze dvou písemek.
Za úspěšnou prezentaci
některého příkladu z následujících sérií během semestru lze získat 2,5 bodu, které se
přičítají k bodům z písemek.
Výsledky písemky z 16.11.:
uspěli: Javorská (15 bodů), Pajerová (9,5), Kotmel (9), Hamáček (8,5), Dudr (8), Dlask (8), Proschek (8),
neuspěli: Pšenička (6 bodů), Otrubová (5), Hanzlíková (5), Kosina (4)
Výsledky z 23.11.:
uspěli: Frühbauer (11,5 bodu), Kopřiva (8), Husák (7,5)
Výsledky z 11.1.:
uspěli: Kotmel (15 bodů), Školoud (15), Hamáček (14), Dudr (12), Dlask (11,5), Javorská (11,5), Proschek (11), Otrubová (10), Pajerová (9,5), Frühbauer (9), Kopřiva (9), Pšenička (9), Husák (8,5),
Smyčka (5,5 písemka + 2,5 př. na cvičení), neuspěla Hanzlíková (4 body)
Písemky jsou k nahlédnutí v době zkoušení (ověřte si v SISu, že se zkouška koná) a v konzultačních hodinách. Náhradní termín zápočtových písemek (po předchozí dohodě) v době písemných zkoušek, tj. v pondělí od 9:30.
Vypsány zkouškové termíny za ZS.
Studenti kombinovaného studia mohou požádat o víkendový termín zkoušky.
Požadavky ke zkoušce
Příklady na cvičení: 1. série - číselné řady,
2. série - pokračování číselných řad,
3. série - posloupnosti funkcí,
4. série - řady funkcí,
5. série - mocninné řady,
6. série - opakování,
7. série - Fourierovy řady
V 1. ročníku jsme probrali:
v zimním semestru,
v letním semestru.
Literatura:
J. Veselý: Matematická analýza pro učitele I, II - novější rozšířená (leč těžko dostupná) verze: Základy matematické analýzy I, II
J. Kopáček: Matematika pro fyziky, Příklady z matematiky pro fyziky
V. Jarník: Diferenciální počet I,II, Integrální počet I
I. Černý: Úvod do inteligentního kalkulu
Několik příkladů diferenciálních rovnic (text ve výstavbě - připomínky vítány).