|
|
Poznámky k řešení domácího úkolu č. 6
- Řešení první úlohy mělo opět dvě části. V první šlo o vyšetření tvaru řešení pomocí
konvergence příslušných integrálů. To měli studenti víceméně dobře. Zmíním dvě chyby,
které se vyskytovaly:
|
|
- Někteří konvergenci u +∞ vyšetřovali pomocí limity
z g(y)/y-2. Pokud tato limita vyjde nekonečná, žádnou
informaci to nedá, protože Větu XIV.4(1) nelze použít, jelikož -2 není větší než 1.
- Někteří konvergenci u +∞ vyšetřovali takto: Limita funkce g v
+∞ je +∞, tedy nenulová, proto integrál diverguje dle Věty XIV.3 (bod 2 nebo bod 1).
To ale není dobře, protože Věta XIV.3 je určena pro omezené intervaly.
|
Použití vět je dobré doplňovat správnou intuicí. Například: Konvergence integrálu z 1/g
přes interval <a,+∞) bude zaručena, jestliže 1/g(y) bude
pro y→+∞ konvergovat dostatečně rychle k nule; neboli jestliže g(y) bude
pro y→+∞ divergovat dostatečně rychle k +∞.
Co to znamená dostatečně rychle, je obsahem Věty XIV.4(1).
Podobně pro ostatní případy.
- Druhou částí první úlohy bylo zodpovědět na základě předchozí analýzy otázky a)-d).
Ty okomentuji každou zvlášť.
|
|
- Správná odpověď je množina všech bodů [u,v] z R2, pro které
v patří do intervalu (-∞,1). To měli téměř všichni správně.
Zdůvodnění je analogické jako v minulém domácím úkolu.
- Správná odpověď je množina všech bodů [u,v] z R2, pro které
v patří do množiny (-∞,1)∪(1,+∞).
Zdůvodnění: Body, kde v=1 do množiny nepatří, protože jimi prochází nekonečně mnoho maximálních
řešení (jedno stacionární a nekonečně mnoho slepených). Ostatní body tam patří.
Například body, kde v>1 prochází jen jedno maximální řešení, totiž to, které vznikne slepením jediného řešení
s hodnotami v (1,+∞) a stacionárního řešení s hodnotou 1.
Mnozí studentí uváděli pouze ty body, pro něž v patří do množiny (-∞,0>. To není
správná odpověď, jak je vidět z předchozího odstavce.
- Správná odpověď je množina všech bodů [u,v] z R2, pro které
v patří do množiny (-∞,0)∪(0,1). To studenti měli většinou správně. Někteří však
připouštěli i body, kde v=1. To správně není. Každé řešení, které nabývá hodnoty 1, ji totiž nabývá
na nějakém neprázdném otevřeném intervalu. Na tomto intervalu je pak konstantní, nemůže
být tedy klesající na svém definičními oboru. Připomínám, že definičním oborem řešení je vždy otevřený interval.
- Správná odpověď je množina všech bodů [u,v] z R2, pro které
v patří do intervalu (-∞,0). To měli téměř všichni správně.
|
- K dalším chybám patřilo opět špatné zachycení lepení řešení do grafu; nevhodný zápis množin při odpovědi na
otázky a)-d) - odpověď na otázku a) je specifikována výše, odpověď (-∞,1)
není správná už proto, že nejde o množinu v R2. Někteří dále jen nakreslili obrázek;
někteří obrázek naopak nenakreslili. To souvisí s tím, že je třeba si pořádně přečíst
zadání, a to splnit.
- Ve druhé úloze téměř vsichni počítali správně. Někteří ignorovali otázku po monotonii (opět je třeba číst
zadání), někteří explicitně neuvedli interval, na kterém je hledané řešení definováno.
Přitom to bylo snadné, bylo to R. Ale je třeba to explicitně uvést.
|
