|
|
Poznámky k řešení domácího úkolu č. 4
- V první úloze studenti většinou dodrželi standardní postup - pomocí dvou postupných
substitucí rovnici převedli na rovnici se separovanými proměnnými. Při řešení této rovnice
se vyskytovaly následující problémy a chyby:
|
|
- Na tom, v kterém intervalu má řešení hodnoty, závisí nejen jeho definiční obor,
ale i vzoreček pro řešení. Tento vzoreček se získá řešením příslušné kvadratické rovnice.
Přitom tato kvadratická rovnice má pro řešení s hodnotami v (-∞,-2)
nebo v (1,+∞) jiný tvar než pro řešení s hodnotami v (-2,-1/2)
nebo v (-1/2,1). Někteří studenti napsali a vyřešili správnou kvadratickou
rovnici pro jeden z intervalů a pak tvrdili, že v ostatních intervalech vyjdou
stejné vzorečky. To není pravda.
- Většina studentů si nicméně všimla, že vyjdou dvě různé kvadratické rovnice,
jak je uvedeno v předchozím bodu. Uvažme nyní řešení s hodnotami v (-∞,-2)
nebo v (1,+∞). Pro ně dostame stejnou kvadratickou rovnici. Tato kvadratická
rovnice má dvě řešení. Přitom jedno z nich odpovídá řešením diferenciální rovnice
s hodnotami v (-∞,-2) a druhé řešením s hodnotami v (1,+∞).
Toto úplně nevysvětlil nikdo. Chybou určitě je, pokud hledám řešení s hodnotami v jednom
intervalu (řekněme (-∞,-2)) a přitom vzoreček pro toto řešení obsahuje
symbol ± nebo (což je totéž) uvádím dva vzorečky (na témže intervalu pro tutéž
konstantu). Z postupu řešení totiž plyne, že vyjadřuji inverzní funkci, a ta je jen
jedna.
V tomto případě vychází z=-1/2±nějaká odmocnina, přitom řešení se znaménkem
- má hodnoty v (-∞,-2) a řešení se znaménkem + má hodnoty v
(1,+∞).
Podobně je to s řešeními s hodnotami v (-2,-1/2)
nebo v (-1/2,1).
- Řešení této rovnice se separovanými proměnnými mezi sebou nelze lepit. Někteří studenti
spočítali, že řešení s hodnotami v (-2,-1/2)
nebo v (-1/2,1) mají v krajních bodech definičního oboru limitu -1/2,
a tak je spolu slepili - na chybějícím intervalu dodefinovali hodnotou -1/2.
To je naprostý nesmysl, protože z hodnoty -1/2 nabývat nemůže.
Slepené funkce jsou sice spojité na R, ale nejsou to řešení.
|
- Po vyřešení rovnice se separovanými proměnnými je třeba se vrátit zpět. Nejprve
řešení Y=X.z. A zde je třeba prozkoumat možnost nalepení v nule.
|
|
- Někteří studenti tuto možnost zcela ignorovali. To je samozřejmě chyba.
- Správný postup je spočítat limitu příslušných řešení v bodě X=0,
stejně jako limitu derivace. A pak nalepit to, co na sebe navazuje (hodnotou i derivací)
a co i v bodě X=0.
- Někteří studenti spočítali jen limitu řešení a derivaci nezkoumali. To je chyba.
- Někteří spočetli limitu i limitu derivace, ale neověřili, že to splňuje rovnici.
I to je chyba.
- Někteří spolu nalepili i řešení vzniklá ze stacionárních řešení (Y=X
a Y=-2X). To ale nejde. Slepené funkce sice jsou spojité a mají derivaci
všude, ale v bodě X=0 rovnici nesplňují.
|
- Někteří studenti (není jich mnoho, ale najdou se) stále ignorují fakt, že řešení diferenciálních rovnic jsou definovaná
na intervalech, nikoli na složitějších množinách (sjednocení intervalů atp.). O tom jsem
již psal v poznámkách k minulým úkolům.
- Ve druhé úloze se studenti správně drželi standardního postupu - najít stacionární
řešení, intervaly nenulovosti, vyšetřit konvergenci příslušných integrálů a z toho odvodit
závěry. Při vyšetřování konvergence příslušných integrálů se objevovaly následující chyby:
|
|
- Někteří studenti používali obrácení implikací z příslušných vět z přednášky.
Například z toho, že funkce g nemá v nule zprava vlastní derivaci usuzovali,
že integrál z 1/g přes (0,1/2) konverguje. To je chybná úvaha.
Takovou větu jsme neměli, a ona ani neplatí. Měli jsme větu, která říká, že
integrál diverguje, pokud existuje vlastní derivace (z příslušné strany). O tom,
co se děje, když vlastní derivace neexistuje, věta nic neříká. Nic na tom nemění ani
fakt, že v tomto případě je závěr (náhodou) správný.
Někdo jiný zase tvrdil, že limita v nule zprava je nula, tedy není nenulová,
a proto integrál diverguje. To je opět chybná úvaha. Věta z přednášky říká, že v případě
existence nenulové limity integrál konverguje. Co se děje v případě, že limita je nulová,
věta neřeší. Zde je navíc chybný i závěr.
- Někdo zase tvrdil, že v +&infty; je limita +&infty;, tedy nenulová,
a proto integrál přes (2,+&infty;) konverguje. To je chybná úvaha, protože používá
větu platnou pro omezený interval na případ intervalu neomezeného.
- Někteří tvrdili, že limita g(x)/x3/2 v +&infty;
je rovna 1. To je špatně spočtená limita, limita je samozřejmě +&infty;.
- Někteří při vyšetřování integrálu přes (0,1/2) spočetli limitu v bodě
1/2, ta vyšla nenulová, a proto usoudili, že integrál konverguje.
To je chybné použití věty. Věta z přednášky říká, že je-li g
spojitá a kladná na intervalu <a,b) a má-li v bodě
b zleva nenulovou limitu, pak integrál z 1/g
přes (a,b) konverguje. Funkce g z úlohy je však
spojitá a záporná na intervalu (0,1/2>. Takže musíme zkoumat její
chování u bodu 0 zprava, nikoli u 1/2 zleva.
- Někteří také tvrdili, že g má v bodě nula vlastní derivaci
zprava. To není pravda.
- Někteří integrál přes (0,1/2) vyšetřovali podle limitního srovnávacího
kritéria, které našli ve skriptech (Věta 8.53 v novém vydání). To je jistě možné, ve skriptech je o konvergenci
zobecněného Riemannova integrálu více informací, než bylo na přednášce. Tito studenti
správně usoudili, že podle limitního srovnávacího kritéria integrál z 1/g
přes (0,1/2) konverguje, právě když konverguje integrál z
1/√(ex-1). To je v pořádku. Ale pak buď bez zdůvodnění
prohlásili, že tento integrál konverguje; nebo v něm špatným způsobem
provedli substituci y=ex-1. Správným provedením substituce
vyjde integrál přes (0,¨√e-1) z funkce 1/((y+1)√y).
Tento postup, kdyby byl správně proveden, by vedl k cíli. Jen je možná složitější
než použít Větu XIV.3(2) z přednášky. Její tvrzení je navíc důsledkem limitního
srovnávacího kritéria.
|
- Dalším problémem bylo ve výsledku zohlednit, že řešení s hodnotami v (0,1) jsou
klesající. Protože integrál z 1/g u nuly konverguje a u jedničky diverguje,
jsou řešení definována na (-∞,T), kde T je reálné číslo,
limita v -∞ je jedna, limita v T zleva je nula.
Někteří tvrdili, že řešení jsou definována na (T,+∞),
limita v +∞ je nula, limita v T zprava je jedna.
To je chybná úvaha. TO by znamenalo totiž, že v T lze pokračovat
stacionárním řešením s hodnotou jedna; přitom u jedničku integrál diverguje.
Na přednášce jsem vysvětloval, jak je třeba modikovat Větičku XIV.2 pro případ
záporné funkce g - že tvar intervalů v bodech (b) a (c) je pak prohozen.
- Problémem bylo i zachytit do grafu navázání stacionárního řešení.
Pokud má nějaké řešení pokračovat stacionárním řešením, musí v bodě změny navazovat
včetně derivace, neboli ta derivace tam musí být nulová. To sice u autonomních
rovnic nastává automaticky, ale na grafu je to třeba zachytit.
|
