NMAG102: Lineární algebra a geometrie 2, letní semestr 2015-2016

Oznámení

  • 12.5. Bude pouze 11 úkolů, počítá se 9 nejlepších.
  • 3.5. Vypsal jsem termíny na zkoušky (3.6, 13.6, 23.6, 12.9., 19.9.) a na opravný zápočtový test (30.5.)
  • 3.5. Vzorové řešení 2. testu už je také dostupné.
  • 15.4. Do informací o zkouškách jsem přidal seznam věcí, jejichž znalost nebudu vyžadovat. Seznam budu průběžně doplňovat.
  • 5.4. Vytvořil jsem pro vás vzorové řešení 1. testu (verze 1), odkaz je výše.
  • 1.4. 2. písemka bude 3.5 na kapitoly 9 a 10 (vlastní čísla a vektory, diagonalizace, JKT, unitární diagonalizace, SVD).
  • 24.3. Výsledky 1. písemky budou nejspíše až příští týden.
  • 18.3. Výsledky ankety si můžete přečíst tady
  • 29.2. Kdybyste se chtěli na cokoliv anonymně zeptat ohledně přednášky (matematická nebo jiná nejasnost) nebo napsat připomínku, máte možnost, viz "otázky a připomínky" výše!
  • 26.2. Stanovil jsem datum 1. písemky: 22.3. Bude na skalární součin.
  • 22.2. Statistika výsledků zkoušek za zimní semestr a srovnání s předchozími roky.
  • 22.2. Vítejte v novém semestru! Prohlédněte si zejména změnu organizace kurzu oproti zimnímu semestru - dvě písemky v průběhu semestru, které se počítají ke zkoušce.

Kalendář

TydenNáplň přednášek Domácí úkol Odevzdat do
1) 23.2, 24.2 Skalární součin, norma, CS-nerovnost 1. DÚ 8.3 do 9:00
2) 1.3, 2.3 Kolmost. Ortogonální projekce, Gram-Schmidt. 2. DÚ 15.3 do 9:00
3) 8.3, 9.3 QR-rozklad, OG doplněk, Gramova matice. Unitární matice. Aplikace. 3. DÚ 22.3 do 9:00
4) 15.3, 16.3 Vlastní čísla a vektory, charakteristický polynom, algebraická násobnost. 4. DÚ 29.3 do 9:00
5) 22.3, 23.3 1.test (22.3). Diagonalizovatelnost, geometrická násobnost. 5. DÚ 5.4 do 9:00
6) 29.3, 30.3 Diagonalizovatelnost. Jordanův kanonický tvar. 6. DÚ 12.4 do 9:00
7) 5.4, 6.4 Jordanův kanonický tvar. 7. DÚ 19.4 do 9:00
8) 12.4, 13.4 Unitární diagonalizace, spektrální věty. 8. DÚ 26.4 do 9:00
9) 19.4, 20.4 Singulární rozklad, aplikace. 9. DÚ 3.5 do 9:00
10) 26.4, 27.4 Bilineární formy, jejich ortogonalizace. 10. DÚ 10.5 do 9:00
11) 3.5 2. test --
12) 10.5, 11.5 Analýza kvadratických útvarů. Afinní prostory, soustavy souřadnic. 11. DÚ 24.5 do 9:00
13) 17.5, 18.5 Podprostory, vzájemná poloha. --
14) 24.5, 25.5 Afinní zobrazení. Opakování. --

Obsah přednášky

  • Standardní skalární součin na R^n a C^n. Skalární součin, norma, Cauchyho-Schwartzova nerovnost.
  • Kolmost vektorů a množin, ortogonální a ortonormální posloupnosti a množiny, ortogonální doplněk.
  • Ortogonální projekce, Gramova-Schmidtova ortogonalizace, QR-rozklad. Výpočet ortogonální projekce, Gramova matice. Metoda nejmenších čtverců pro SLR, řešení SLR s nejmenší normou.
  • Ortogonální a unitární matice a zobrazení.
  • Diskrétní a spojité lineární dynamické systémy. Vlastní čísla a vlastní vektory operátorů a matic. Podobnost. Charakteristický polynom, algebraická násobnost vlastního čísla.
  • Diagonalizovatelné operátory a matice. Geometrická násobnost, charakterizace diagonalizovatelnosti. Řešení spojitých lineárních dynamických systémů s diagonalizovatelnou maticí.
  • Jordanova buňka, matice v Jordanově tvaru, mocniny matic v JKT. Jordanovy řetízky. Věta o lineární nezávislosti Jordanových řetízků. Iterovaná jádra a obrazy, výpočet JKT.
  • Unitárně a ortogonálně diagonalizovatelné matice, unitární podobnost, charakterizace. Normální matice. Spektrální věty pro normální, unitární, hermitovské a pozitivně (semi)definitní matice. Ortogonální operátory na R^2 a R^3.
  • Singulární rozklad - různé formulace, singulární čísla. Norma matice, odhad absolutní a relativní chyby při řešení SLR, aproximace matice maticí malé hodnosti, pseudoinverze.
  • Bilineární formy, kvadratické formy, matice a analytické vyjádření, změna báze. Rozklad na symetrickou a antisymetrickou část. Ortogonální báze, symetrické úpravy. signatura nad R, zákon setrvačnosti, pozitivně definitní bilineární formy. Ortonormální diagonalizace, analýza "kvadratických útvarů".
  • Afinní a afinní eukleidovský prostor. Soustava souřadnic, přechodové vztahy. Afinní kombinace, barycentrické souřadnice. Kombinace odpovádající vektorům. Poddrostory, jejich parametrický, rovnicový a bodový popis, jejich vzájemná poloha a vzdálenost. Afinní zobrazení, příslušné lineární zobrazení, souřadnicový popis. Charakterizace izometrií.

Organizace kurzu

  • Zápočet je za písemné testy na začátku cvičení (bližší informace jsou níže). První odevzdaný písemný test (nebo první úkol) podepište jménem a zvolte přezdívku, pod kterou budete uvedeni ve výsledcích domácích úkolů, zápočtových testů a písemek v průběhu semestru (odkaz na výsledky je na začátku této stránky). Další práce podepisujte raději svým jménem.
  • Místo dvou přednášek v semestru se budou psát písemky, termíny jsou 22.3.2016 a 3.5.2016. Výsledek zkoušky se určí podle jedné ze dvou variant. Použije se ta, která je pro studenta příznivější.
    • 1. varianta
      • 16% domácí úkoly
      • 21% 1. písemka
      • 21% 2. písemka
      • 42% závěrečná písemka
    • 2. varianta
      • 16% domácí úkoly
      • 84% závěrečná písemka
  • Na trojku je potřeba 55%, na dvojku 70% a na jedničku 85%.
  • V případě zisku alespoň 55% lze v odůvodněných případech domluvit ústní zkoušení s možnou změnou známky jakýmkoliv směrem o jakoukoliv hodnotu.

Zápočet

  • Na každém cvičení počínaje 3. týdnem bude krátký test (cca 10 min).
  • Dohromady 10 testů, počítá se 8 nejlepších, na zápočet je potřeba alespoň 60%.
  • Žádné omluvy (ani nemoc apod.) se nepřipouští, proto se počítá pouze 8 nejlepších testů.
  • Jediná možnost opravy bude jeden opravný termín na začátku zkouškového období. Opravný test bude obsahovat 8 příkladů, bude trvat 90 min. a bude sestaven z přímočarých početních příkladů. K získání zápočtu je třeba alespoň 60%, výsledky testů ze cvičení nehrají žádnou roli.
  • Cvičící má u výborných studentů a v případě vážných důvodů možnost udělit zápočet výjimečně dle jiných kritérií.

Domácí úkoly

  • Zadání naleznete v kalendáři přibližně dva týdny před odevzdáním.
  • Termín odevzdání je vždy v úterý 9:00, místo odevzdání je schránka za vchodem na katedru algebry (prefereuje se) nebo osobně.
  • U domácích úkolů vždy uveďte číslo kruhu nebo jméno cvičícího. Budou vám totiž předávány opravené vaším cvičícím.
  • Dohromady 11 úkolů, počítá se 9 nejlepších, body se počítají ke zkoušce. Z jednoho DÚ je možné dostat maximálně 16 bodů. Počet bodů ke zkoušce tedy bude roven průměru výsledků 9 nejlepších úkolů.
  • Někdy bude zadán též bonusový příklad. To je zpravidla těžší příklad nad rámec požadovků. Můžete jej odevzdat, ale řešení nebude mít vliv na výsledek DÚ.
  • Žýdné omluvy (ani nemoc apod.) se nepřipouští, proto se počítá pouze 9 nejlepších DÚ.
  • Je možné konzultovat řešení se spolužáky apod. Řešení však vždy musí být psána samostatně a sepsané řešení se nesmí ukazovat ostatním studentům.

Zkouškové písemky

  • Struktura závěrečných písemek bude téměř stejná jako v zimním semestru:
    • 8 bodů: Jednoduché otázky Ano/Ne, netřeba zdůvodňovat
    • 12 bodů: Definice pojmů
    • 12 bodů: Jednoduché početní (nebo jiné) příklady, kde stačí správná odpověď
    • 12 bodů: Početní příklady, kde je potřeba psát postup
    • 9 bodů: Formulace tvrzení
    • 9 bodů: Důkazy jednodušších tvrzení
    • 6 bodů: Formulace a důkaz těžšího tvrzení z přednášky. Můžeme vyžadovat důkazy pomocných tvrzení, důkaz jen některé z implikací, vyjádřit hlavní myšlenku důkazu vlastními slovy, apod. Seznam těžších tvrzení:
      • Cauchyho-Schwarzova nerovnost (věta 8.33)
      • Charakterizace diagonalizovatelnosti pomocí násobností (věta 9.71)
      • Charakterizace unitární diagonalitovatelnosti pomocí násobností (věta 10.4)
      • Spektrální věta pro normální operátory - těžší implikace (věta 10.13)
      • Věta o singulárním rozkladu (věta 10.29)
      • Věta o setrvačnosti kvadratických forem (věta 11.26)
      • Charakterizace pozitivně definitních matic (věta 11.33)
    • 16 bodů: Příklady na zamyšlení. K vyřešení stačí dobře rozumět pojmům a tvrzením z přednášky a geometrický názor.
  • Celkové zastoupení témat v závěrečné písemce (nikoliv v jednotlivých příkladech) bude zhruba odpovídat času věnovanému tématům na přednášce.
  • Doba na řešení závěrečné písemky bude 3 hodiny.
  • Následující znalosti ze skript nejsou vyžadovány v žádných písemkách
    • Důkaz tvrzení 9.7 (o řešení diferenciální rovnice f'=af)
    • Důkaz tvrzení 9.47 (reálný polynom lichého stupně má kořen)
    • Důkaz tvrzení 9.68 (o determinantu blokově diagonální matice)
    • Důkaz věty 9.93 (o LN Jordanových řetízků) v plné obecnosti, důkaz je ale vyžadován ve speciálních případech: jeden řetízek, všechny řetízky délky 1
    • Část 9.4.9 o řešení spojitých dynamických systémů s nediagonalizovatelnou maticí
    • Tvrzení 9.112, důsledek 9.113 (o zúžení operátoru na invariantní podprostor)
    • Důkaz věty o Jordanově tvaru (část 9.4.11)
    • Důkaz věty 9.119 (Cayleyho-Hamiltonova věta)
    • Celá část 9.5. o Googlu
    • Důkaz chybějící implikace v tvrzení 12.12 o afinních kombinacích
    • Důkaz věty 12.50 o izometriích
  • Písemky během semestru jsou podobné, ale kratší. Doba na řešení je 90 minut. 1. písemka je na 8. kapitolu (skalární součin), 2. písemka je na 9. a 10. kapitolu (vlastní čísla a unitární diagonalizace). Z každé písemky je možné získat 42 bodů, po vydělení dvěma vyjde počet bodů při 1. variantě hodnocení. Rozložení bodů:
    • 4 body: 2 x jednoduché otázky Ano/Ne, netřeba zdůvodňovat
    • 6 bodů: 2 x definice pojmů
    • 6 bodů: 3 x jednoduché početní (nebo jiné) příklady, kde stačí správná odpověď
    • 6 bodů: 1 x početní příklad, kde je potřeba psát postup
    • 6 bodů: 2 x formulace tvrzení
    • 6 bodů: 2 x důkazy jednodušších tvrzení
    • 8 bodů: 2 x příklady na zamyšlení.
  • Pro 2. písemku není navíc vyžadována znalost následujícího
    • Důkaz věty 9.71 (charakterizace diagonalizovatelnosti pomocí násobností)
    • Důkaz věty 10.4 (charakterizace unitární diagonalizovatelnosti pomocí násobností)
    • Důkaz implikace (2) => (1) ve větě 10.13 (spektrální věta pro normální operátory)
    • Důkaz věty 10.29 (o singulárním rozkladu)

Doplňující materiály

  • Online kurzy. Napíšete-li do vyhledavače heslo video lectures linear algebra, najdete řadu odkazů
  • Volně dostupné zdroje anglicky
    • Pěkná je kniha Jima Hefferona
    • Kurz lineární algebry na University of California in Davis najdete zde
    • Více numericky zaměřená je kniha C.D. Meyer, Matrix Analysis and Applied Linear Algebra, SIAM 2000. Ke stažení zde
    • Databáze odkazů na všechno možné o lineární algebře je zde.
  • Volně dostupné zdroje česky
  • Další knihy
    • T.S. Blyth, E.F. Robertson, Basic Linear Algebra, Springer Verlag London,2002,
    • S.H. Friedberg, A.J. Insel, L.E.Spence, Linear Algebra, Third Edition, Prentice-Hall, Inc., 1997
    • L. Bican, Lineární algebra a geometrie, Academia, Praha 2000.
    • J. Bečvář, Vektorové prostory I, II, III, SPN Praha 1978, 1981, 1982.
    • J. Bečvář, Sbírka úloh z lineárni algebry, SPN Praha 1975.
    • L. Bican, Lineární algebra, SNTL Praha 1979.
    • L. Bican, Lineární algebra v úlohách, SPN Praha 1979.