Algebraická geometrie (NMAG401) - informace k přednášce v zimním semestru 2018/2019.

Základní informace

Sylabus a základní informace viz popis předmětu ve Studijním informačním systému.

Rozvrh (k nalezení též v SISu):

  • přednáška v pondělí 9:00-10:30 v místnosti K9,
  • cvičení (cvičí L. Shaul) ve středu 9:00-10:30 v místnosti K7.

Zkouška

Zkouška je ústní a termíny jsou podle individuální domluvy.

Zápočet

Zápočet bude udělován za odevzdané vyřešené úkoly. Půjde o tři sady problémů, které budou vypisovány níže. Požaduji alespoň 50 % bodů z vyřešených problémů v uvedených termínech.

Příklady č. 1 (termín odevzdání 19. listopadu)

  1. Komplexní algebraickou podmnožinu X ⊆ A2 nazveme kuželosečkou, pokud je tvaru X = V(f), kde f ∈ C[x,y] je nenulový polynom celkového stupně 2. Ukažte, že každá ireducibilní kuželosečka je isomorfní buď V(y-x2) nebo V(xy-1).
  2. Nechť C je těleso komplexních čísel a uvažujte okruh R = C[x,y,z]/(xz,yz) a prvek f := y-z ∈ R. Ukažtě, že lokalizovaný okruh Rf (kde invertujeme prvek f ∈ R) je isomorfní okruhu C[x,y±1] × C[z±1].
  3. Najděte biracionální ekvivalenci mezi komplexní afinní přímkou a komplexní rovinnou křivkou V(y3+x2-yx2) ⊆ A2. Najděte řešení rovnice y3+x2-yx2 = 0 nad racionálními čísly.

Příklady č. 2 (termín odevzdání 17. prosince)

  1. Ukažte, že obraz polynomiálního zobrazení f: A1 → A3 daného předpisem f(t) = (t3, t4, t5) nad tělesem komplexních čísel je podvarieta A3. Ukažte navíc, že je to přesně množina nul polynomu y2 - xz a determinantu matice

    \begin{pmatrix} x & y & z \\ y & z & x^2 \\ z & x^2 & 0 \end{pmatrix}

    (nápověda: je-li x nenulové, můžeme položit t=y/x a vydělit řádky matice prvkem x).

    Ukažte nakonec, že polynom p = x3 - yz se na obrazu f nuluje a najděte vyjádření nějaké mocniny pe jakožto prvku ideálu C[x,y,z] generovaného polynomem y2 - xz a determinantem (takové vyjádření musí z Hilbertovy věty o nulách existovat).

  2. Nechť K je algebraicky uzavřené těleso. Definujeme zobrazení i z množiny dvoudimenzionálních vektorových podprostorů V ⊆ K4 do projektivního prostoru P5 následovně. Vezmeme ve V libovolné dva lineárně nezávislé vektory v = (a0, a1, a2, a3) a w = (b0, b1, b2, b3), jejich složky zapíšeme do matice 2x4

    \begin{pmatrix} a_0 & a_1 & a_2 & a_3 \\ b_0 & b_1 & b_2 & b_3 \end{pmatrix}

    a spočítáme (v nějakém pevném pořadí) všech 6 determinantů d0, d1, ..., d5 podmatic velikosti 2x2. Pak i bude zobrazovat V na (d0 : d1 : ... : d5).

    1. Ukažte, že i je dobře definované prosté zobrazení.
    2. Ukažte, že obraz X zobrazení i je projektivní varieta zadaná v P5 jednou kvadratickou rovnicí.

Příklady č. 3 (termín odevzdání: u zkoušky)

  1. Uvažujte nad komplexními čísly podmnožinu B ⊆ A3 × P2 tvořenou všemi body (x,y,z, (s:t:u)) takovými, že (s,t,u) a (x,y,z) jsou lineárně závislé vektory.
    1. Ukažte, že B je podvarieta A3 × P2.
    2. Ukažte, že při projekci π: B → A3 dané předpisem π(x,y,z, (s:t:u)) = (x,y,z) má počátek souřadnic 0 ∈ A3 vzor isomorfní P2 a že π se zúží na isomorfismus kvaziprojektivních variet B\π-1(0) → A3\{0} (tj. B je blow up počátku souřadnic v A3).
    3. Buď X=V(x2-y2-z2) ⊆ A3. Najděte v B Zariského uzávěr Y množiny π-1(X\{0}) a ukažte, že π se zúží na isomorfismus Y\π-1(0) → X\{0}.
    4. Nakonec ukažte, Y má otevřené pokrytí otevřenými množinami isomorfními A2 (čili jsme se zbavili singularity X v počátku souřadnic).
  2. Uvažujte desetidimenzionální komplexní vektorový prostor V tvořený všemi polynomy z C[x,y] stupně nejvýše 3 a odpovídající projektivní prostor P9 tvořený přímkami ve V. Ukažte, že ireducibilní kubické křivky v komplexním afinním prostoru A2 jsou parametrizovány Zariski otevřenou podmnožinou P9 (tedy ireducibilní kubické křivky samy tvoří kvaziprojektivní varietu).
  3. Spočítejte (a zdůvodněte!), jaká je Krullova dimenze Grassmannovy variety X z druhého příkladu druhé série.

Co bylo probráno

Zde je uveden orientační seznam probrané látky po jednotlivých přednáškách, včetně odkazů do literatury.

1. 10. 2018
Afinní algebraické množiny, Zariského topologie, rozklad noetherovského topologického prostoru na ireducibilní komponenty, plus na cvičení ideál podmnožiny afinního prostoru a algebraické podmnožiny afinní roviny (skripta, kap. 1; [Ful], kap. 1.2 - 1.6, 6.1; [Ga], kap. 1.1, 1.3).
8. 10. 2018
Důkaz k rozkladu noetherovského topologického prostoru na ireducibilní komponenty, charakterizace ireducibility přes prvoideály, polynomiální zobrazení a souřadnicové okruhy, bijekce mezi polynomiálními zobrazeními a homomorfismy souřadnicových okruhů (skripta, kap. 1 a 2; [Ful], kap. 1.5, 2.1 - 2.2; [Ga], kap. 1.3, 2.1).
15. 10. 2018
Důkaz k bijekci mezi polynomiálními zobrazeními a homomorfismy souřadnicových okruhů, polynomiální isomorfismy a změny souřadnic, funkční tělesa a racionální funkce na varietách, regulární body a póly, příklady (skripta, kap. 2; [Ful], kap. 2.2 - 2.4; [Ga], kap. 2.1, 2.3, [Sh], kap. 3).
22. 10. 2018
Racionální zobrazení mezi varietami, vztah mezi racionálními zobrazeními s hustým obrazem a homomorfismy funkčních těles (skripta, kap. 2; [Ful], kap. 6.6; [Ga], kap. 2.1, 2.3; [Sh], kap. 3).
29. 10. 2018
Biracionální ekvivalence, racionální variety, lokalizace okruhů (skripta, kap. 2 a 3; [Ful], kap. 6.6; [Ga], kap. 2.1, 2.3, 4.3; [Sh], kap. 3; [AM], kap. 3).
5. 11. 2018
Lokalizace v multiplikativní množině, geometrický význam lokalizace K[X] → K[X]f, radikálové ideály, Hilbertova věta o nulách (skripta, kap. 3; [Ful], kap. 1.7 - 1.10, 6.3; [Ga], kap. 1.2, 2.1; [AM], kap. 3).
12. 11. 2018
Důsledky věty o nulách, rekonstrukce algebraické množiny ze souřadnicového okruhu, otevřená báze Zariského topologie, lokální okruhy, na cvičení disktrétní valuační obory (skripta, kap. 3 a 4; [Ful], kap. 1.7, 2.4, 2.5, 6.3; [Ga], kap. 1.2, 2.1).
19. 11. 2018
Lokální okruhy v bodech algebraické množiny a jejich vlastnosti, rovinné křivky, singulární a nesingulární body na nich, tečny (skripta, kap. 4; [Ful], kap. 2.4, 3.1; [Ga], kap. 2.1, 4.4; text o rovinných křivkách).
26. 11. 2018
Diskrétní valuační obory a charakterizace nesingulárních bodů na rovinných křivkách, ([Ful], kap. 2.5, 3.2; [Ga], kap. 4.4).
3. 12. 2018
Projektivní algebraické množiny, projektivní Zariského topologie, homogenní ideály a homogenní souřadnicové okruhy, rozklad na ireducibilní komponenty, projektivní věta o nulách ([Ful], kap. 2.6, 4.1, 4.2; [Ga], kap. 3.1, 3.2).
10. 12. 2018
Kvaziprojektivní algebraické množiny a svazek regulárních funkcí na nich, homomorfismy a kartézské součiny kvaziprojektivních algebraických množin ([Ful], kap. 4.3, 6.2 - 6.4; [Ga], kap. 3.3; [Sh], kap. 5.1).
17. 12. 2018
Separovanost kvaziprojektivních algebraických množin coby náhrada za nehausdorffovskost Zariského topologie, projektivní eliminace, uzavřenost obrazu pro homomorfismy z projektivních algebraických množin, verze stereografické projekce v projektivní geometrii, na cvičení nafouknutí (blow up) bodu a řešení singularit ([Ful], kap. 4.4, 6.4, 7.2; [Ga], kap. 3.3, 3.4, 4.3; [Sh], kap. 5.2).
7. 1. 2019
Krullova dimenze a její výpočet pro afinní a projektivní prostory ([Ful], kap. 6.5; [Ga], kap. 1.4, 4.1 - 4.2; [Sh], kap. 5.3 - 5.4, 6.1).

Literatura

K přednášce budu v tomto semestru průběžně aktualizovat předběžnou verzi skript: [PDF ke stažení]

Co se další literatury týče, algebraická geometrie postupně vyrostla ve velmi široký obor, o kterém jsou napsány tisíce stránek z různých pohledů. Určitou představu (příp. doporučení, kudy dále pro zájemce) si lze udělat na tomto blogu na mathoverflow.net. Přednáška je inspirována následujícími dvěma zdroji, které jsou volně dostupné on-line v PDF, a proto do nich u seznamu probrané literatury uvádím odkazy:

[Ga] A. Gathmann, Algebraic geometry, skripta kurzu z Kaiserslautern, 2002/2003. [PDF ke stažení]
[Ful] W. Fulton, Algebraic Curves (An Introduction to Algebraic Geometry), 2008. [PDF ke stažení]

Další inspirace a fakta pochází především z těchto (off-line) zdrojů:

[AM] M. F. Atiyah, I. G. MacDonald, Introduction to Commutative Algebra, Addison-Wesley Publishing Co., 1969.
[CLO] D. Cox, J. Little, D. O'Shea, Ideals, varieties, and algorithms, Second Edition, Springer, New York, 2005.
[Na] M. Nagata, Local Rings, John Wiley & Sons, 1962.
[Nee] A. Neeman, Algebraic and Analytic Geometry, LMS Lecture Note Series 345, Cambridge, 2007.
[Sh] I. R. Shafarevich, Basic algebraic geometry 1, Varieties in projective space, 2. vyd., Springer-Verlag, Berlin, 1994.

V češtině lze leccos nalézt i v provizorních skriptech od prof. Drápala:

[Dr1] A. Drápal, Komutativní okruhy. [PDF ke stažení]
[Dr2] A. Drápal, Algebraická geometrie - geometrická čast. [PDF ke stažení]
[Dr3] A. Drápal, Algebraická geometrie - algebraická čast. [PDF ke stažení]

Další odkazy