Algebraická geometrie (NMAG401) - informace k přednášce v zimním semestru 2014/2015.

Upozornění: Tato stránka se týkala přednášky v zimním semestru 2014/2015. Odkaz na aktuální přednášku hledejte na domovské stránce.

Základní informace

Sylabus a základní informace viz popis předmětu ve Studijním informačním systému.

Rozvrh (k nalezení též v SISu):

  • přednáška ve středu 10:40-12:10 hod. v seminární místnosti KA,
  • cvičení ve středu 12:20-13:50 hod. v seminární místnosti KA.

Zkouška

Zkouška je ústní a bude se konat v následujících termínech:

  • čtvrtek 15. ledna od 13:00 v seminární místnosti Katedry algebry (odkaz do SISu),
  • čtvrtek 5. února od 13:00 v seminární místnosti Katedry algebry (odkaz do SISu),
  • čtvrtek 12. února od 13:00 v seminární místnosti Katedry algebry (odkaz do SISu).

Zápočet

Zápočet bude udělován za odevzdané vyřešené příklady. Půjde o tři sady příkladů, které budou vypisovány níže. Požaduji alespoň 50 % vyřešených příkladů v uvedených termínech.

Příklady č. 1 (termín odevzdání 5. listopadu)

  1. Nechť X1 a X2 jsou algebraické množiny. Ukažtě, že I(X1 ∩ X1) je roven radikálu z I(X1) + I(X2). Najděte příklad, kdy I(X1 ∩ X1) ≠ I(X1) + I(X2).
  2. Nechť K je algebraicky uzavřené těleso a I ⊆ K[x1, ..., xn] je ideál. Ukažte, že radikál ideálu I je roven průniku všech maximálních ideálů K[x1, ..., xn], které I obsahují.
  3. Najděte generátory maximálního ideálu M okruhu R[x,y] polynomů nad reálnými čísly, který má nulu v bodě (3 + 2i, 5 - 4i) ∈ A².
  4. Nechť C je těleso komplexních čísel a X ⊆ A3 je sjednocení všech tří os x, y a z. Najděte generátory ideálu I(X) ⊆ C[x,y,z].

Příklady č. 2 (termín odevzdání 10. prosince)

  1. C-algebraickou podmnožinu X ⊆ A2 nazveme kuželosečkou, pokud je tvaru X = V({f(x,y)}), kde f(x,y) je nenulový polynom celkového stupně 2. Ukažte, že každá ireducibilní kuželosečka je isomorfní buď V({y-x2}) nebo V({xy-1}).
  2. Nechť X = V({x3 + y3 - 3x2 - 3y2 +3xy +1}) je rovinná křivka definovaná nad tělesem komplexních čísel. Najděte všechny násobné body X a v těchto násobných bodech všechny tečné přímky.
  3. Nechť X = V({y2 - x3}) je C-algebraická podmnožina A2 a uvažujte regulární funkci r: X \ {(0,0)} → A1 danou předpisem r(a,b) = b/a. Lze r rozšířit na regulární funkci na celém X? Proč?

Příklady č. 3 (termín odevzdání 12. ledna)

  1. Nechť K je algebraicky uzavřené těleso. Definujeme zobrazení i z množiny dvoudimenzionálních podprostorů V ⊆ K4 do projektivního prostoru P5 následovně. Vezmeme ve V libovolné dva lineárně nezávislé vektory v = (a0, a1, a2, a3) a w = (b0, b1, b2, b3), jejich složky zapíšeme do matice 2x4

    \begin{pmatrix} a_0 & a_1 & a_2 & a_3 \\ b_0 & b_1 & b_2 & b_3 \end{pmatrix}

    a spočítáme (v nějakém pevném pořadí) všech 6 determinantů d0, d1, ..., d5 podmatic velikosti 2x2. Pak i bude zobrazovat V na (d0 : d1 : ... : d5).

    1. Ukažte, že i je dobře definované prosté zobrazení.
    2. Ukažte, že obraz G zobrazení i je projektivní varieta zadaná v P5 jednou kvadratickou rovnicí.
    3. Ukažte, že G lze jakožto abstraktní varietu pokrýt 6 otevřenými podmnožinami isomorfními A4.

    (Nápověda: Použijte na matici 2x4 Gaussovu eliminaci.)

  2. Uvažujte šestidimenzionální podprostor V všech polynomů z C[x,y] stupně nejvýše 2 a odpovídající projektivní prostor P5 tvořený přímkami ve V. Ukažte, že ireducibilní kuželosečky v komplexním afinním prostoru A2 jsou parametrizovány Zariski otevřenou podmnožinou P5.

Co bylo probráno

Zde je uveden orientační seznam probrané látky po jednotlivých přednáškách, včetně odkazů do literatury.

1. 10. 2014
Afinní algebraické množiny, přiřazení V a I, Zariského topologie ([Ful], kap. 1.2, 1.3, 6.1).
8. 10. 2014
Rozklad noetherovského topologického prostoru na ireducibilní komponenty, algebraické variety, polynomiální zobrazení a souřadnicové okruhy ([Ful], kap. 1.5, 2.1, 2.2; [Ga], kap. 1.3).
15. 10. 2014
Vztah mezi polynomiálními zobrazeními a homomorfismy souřadnicových okruhů, lokalizace okruhů ([Ful], kap. 2.2, [AM], kap. 3).
22. 10. 2014
Hilbertovy věty o nulách, charakterizace souřadnicových okruhů mezi algebrami, maximální ideály souřadnicových okruhů ([Ful], kap. 1.7, 1.10; [Ga], kap. 1.2).
29. 10. 2014
Standardní báze Zariského topologie, geometrický význam lokalizace K[X]f, regulární funkce ([Ful], kap. 2.4, 6.1, 6.2; [Ga], kap. 2.1).
5. 11. 2014
Popis algebry regulárních funkcí na bázových otevřených množinách Zariského topologie ([Ful], kap. 2.4, [Ga], kap. 2.1, [Nee], lemmata 3.4.14 a 3.4.15).
19. 11. 2014
Lokální okruhy v bodech algebraické množiny ([Ful], kap. 2.4, [Ga], kap. 2.1).
26. 11. 2014
Kotečný prostor, afinní rovinné křivky, charakterizace jednoduchých bodů na rovinných křivkách pomocí lokálních okruhů ([Ful], kap. 2.9, 3.1, 3.2).
3. 12. 2014
Dokončení charakterizace jednoduchých bodů na rovinných křivkách, (ne)singulární body na algebraických množinách vyšších dimenzí, svazky K-algeber, okruhované prostory ([Ful], kap 3.2, [Ga], kap. 2.2, 4.4).
10. 12. 2014
Homomorfismy okruhovaných prostorů, abstraktní algebraické množiny a variety ([Ga], kap. 2.3 - 2.5, [Nee], kap. 2).
17. 12. 2014
Abstraktní algebraické variety a kritérium přes uzavřenost diagonály Δ(X) produktu X x X, projektivní algebraické variety, projektivní věta o nulách ([Ga], kap. 2.5, 3.1, 3.2, [Ful], kap. 4.1, 4.2).
7. 1. 2015
Projektivní algebraické množiny coby abstraktní algebraické množiny, uzavřenost morfismů z projektivních algebraických množin, zběžně Krullova dimenze ([Ga], kap. 3.3, 3.4, 4.1).

Literatura

Jde stále o novou přednášku, ke které zatím skripta nejsou k dispozici. Algebraická geometrie je velmi široký obor, o kterém jsou napsány tisíce stránek z různých pohledů. Určitou představu (příp. doporučení, kudy dále pro zájemce) si lze udělat na tomto blogu na mathoverflow.net. Jádro přednášky je prezentováno podle následujících dvou zdrojů, které jsou dostupné on-line v PDF:

[Ga] A. Gathmann, Algebraic geometry, skripta kurzu z Kaiserslautern, 2002/2003. [PDF ke stažení]
[Ful] W. Fulton, Algebraic Curves (An Introduction to Algebraic Geometry), 2008. [PDF ke stažení]

Přednášené výsledky jsou doplněny o některá fakta z komutativní algebry, která jsou k nalezení v následujících (off-line) zdrojích:

[AM] M. F. Atiyah, I. G. MacDonald, Introduction to Commutative Algebra, Addison-Wesley Publishing Co., 1969.
[CLO] D. Cox, J. Little, D. O'Shea, Ideals, varieties, and algorithms, Second Edition, Springer, New York, 2005.
[Na] M. Nagata, Local Rings, John Wiley & Sons, 1962.
[Nee] A. Neeman, Algebraic and Analytic Geometry, LMS Lecture Note Series 345, Cambridge, 2007.

V češtině lze leccos nalézt i v provizorních skriptech od prof. Drápala:

[Dr1] A. Drápal, Komutativní okruhy. [PDF ke stažení]
[Dr2] A. Drápal, Algebraická geometrie - geometrická čast. [PDF ke stažení]
[Dr3] A. Drápal, Algebraická geometrie - algebraická čast. [PDF ke stažení]

Další odkazy