Algebraická geometrie (NMAG401) - informace k přednášce v zimním semestru 2013/2014.

Upozornění: Tato stránka se týkala přednášky v zimním semestru 2013/2014. Odkaz na aktuální přednášku hledejte na domovské stránce.

Základní informace

Sylabus a základní informace viz popis předmětu ve Studijním informačním systému.

Rozvrh (k nalezení též v SISu):

  • přednáška ve čtvrtek, 15:40-17:10 v místnosti K5,
  • cvičení v pátek, 12:20-13:50 v místnosti K5.

Zkouška

Zkouška bude ústní a bude se konat v ternínech:

  • úterý 14. ledna od 10:00 v seminární místnosti Katedry algebry (odkaz do SISu),
  • čtvrtek 30. ledna od 13:00 v seminární místnosti Katedry algebry (odkaz do SISu),
  • středa 12. února od 10:00 v seminární místnosti Katedry algebry (odkaz do SISu).

Další termíny vypisovat neplánuji. Pokud se Vám z jakéhokoliv důvodu složit zkoušku v těchto termínech nepodaří, kontaktuje mě a domluvím se s Vámi osobně.

Zápočet

Zápočet bude udělován za odevzdané vyřešené příklady níže. Požaduji alespoň 50 % vyřešených příkladů v uvedených termínech.

Příklady č. 1 (termín odevzdání 8. listopadu)

  1. Nechť X1 a X2 jsou algebraické množiny. Ukažtě, že I(X1 ∩ X1) je roven radikálu z I(X1) + I(X2). Najděte příklad, kdy I(X1 ∩ X1) ≠ I(X1) + I(X2) .
  2. Nechť p je prvočíslo. Ukažte, že ideál Ip = (xp-1 + xp-2 + ... + x + 1, x-1) okruhu Z[x] je maximální. Jak vypadá těleso Z[x] / Ip?
  3. Nechť K je algebraicky uzavřené těleso a I ⊆ K[x1, ..., xn] je ideál. Ukažte, že radikál ideálu I je roven průniku všech maximálních ideálů K[x1, ..., xn], které I obsahují.
  4. Najděte generátory maximálního ideálu M okruhu R[x,y] polynomů nad reálnými čísly, který má nulu v bodě (1+i,1-i) ∈ A2.

Příklady č. 2 (termín odevzdání 13. prosince)

  1. Nechť φ*: C[s,t]/(t4 - s3 - s2) → C[x,y]/(y2 - x3 + x) je zobrazení C-algeber dané předpisem φ*(s) = x2 - 1 a φ*(t) = y. Ukažte, že φ* je dobře definovaný prostý homomorfismus C-algeber a že odpovídající polynomiální zobrazení φ: X → Y je skoro bijekce v tom smyslu, že až na jednu výjimku jsou vzory bodů z Y jednoprvkové.
  2. C-algebraickou podmnožinu X ⊆ A2 nazveme kuželosečkou, pokud je tvaru X = V({f(x,y)}), kde f(x,y) je nenulový polynom celkového stupně 2. Ukažte, že každá ireducibilní kuželosečka je isomorfní buď V({y-x2}) nebo V({xy-1}).
  3. Nechť X = V({y2 - x3}) je C-algebraická podmnožina A2 a uvažujte regulární funkci r: X \ {(0,0)} → A1 danou předpisem r(a,b) = a/b. Lze r rozšířit na regulární funkci na celém X? Proč?

Příklady č. 3 (termín odevzdání 9. ledna)

  1. Nechť K je algebraicky uzavřené těleso. Definujeme zobrazení i z množiny dvoudimenzionálních podprostorů V ⊆ K4 do projektivního prostoru P5 následovně. Vezmeme ve V libovolné dva lineárně nezávislé vektory v = (a0, a1, a2, a3) a w = (b0, b1, b2, b3), jejich složky zapíšeme do matice 2x4

    a0 a1 a2 a3
    b0 b1 b2 b3

    a spočítáme (v nějakém pevném pořadí) všech 6 determinantů d0, d1, ..., d5 podmatic velikosti 2x2. Pak i bude zobrazovat V na (d0 : d1 : ... : d5).

    1. Ukažte, že i je dobře definované prosté zobrazení.
    2. Ukažte, že obraz G zobrazení i je projektivní varieta zadaná v P5 jednou kvadratickou rovnicí.
    3. Ukažte, že G lze jakožto abstraktní varietu pokrýt 6 otevřenými podmnožinami isomorfními A4.

    (Nápověda: Použijte na matici 2x4 Gaussovu eliminaci.)

  2. Uvažujte šestidimenzionální podprostor V všech polynomů z C[x,y] stupně nejvýše 2 a odpovídající projektivní prostor P5 tvořený přímkami ve V. Ukažte, že ireducibilní kuželosečky v komplexním afinním prostoru A2 jsou parametrizovány Zariski otevřenou podmnožinou P5.

Co bylo probráno

Zde je uveden orientační seznam probrané látky po jednotlivých přednáškách.

3. 10. 2013
Algebraické množiny, přiřazení V a I, Zariského topologie, variety a rozklad na ireducibilní komponenty.
10. 10. 2013
Korespondence mezi polynomiálními zobrazeními algebraických množin a homomorfismy souřadnicových okruhů.
17. 10. 2013
Isomorfismy algebraických množin, lokalizace okruhů, příprava na větu o nulách.
24. 10. 2013
Hilbertova věta o nulách, spektrum a maximální spektrum komutativního okruhu, pro algebraicky uzavřená tělesa ztotožnění algebraické množiny s maximálním spektrem jejího souřadnicového okruhu.
31. 10. 2013
Pro algebraicky uzavřená tělesa překlad Zariského topologie a polynomiálních zobrazení do řeči spekter, pro obecná tělesa zmíněna verze této korespondence přes orbity Galoisovy grupy.
8. 11. 2013
Regulární funkce a jejich popis pro standardní bázi Zariského topologie.
14. 11. 2013
Geometrická interpretace lokalizace K[X]f, kde K[X] je souřadnicový okruh, a spojitost regulárních funkcí. Struktura okruhovaného prostoru na afinní algebraické množině.
21. 11. 2013
Svazky algeber, okruhované prostory a morfismy mezi nimi. Bázové otevřené množiny afinních algebraických množin jsou opět afinní.
28. 11. 2013
Dokončení důkazu o bázových otevřených množinách algebraických množin. Abstraktní předalgebraické množiny a předvariety. Lepení dvou okruhovaných prostorů podle společného otevřeného okruhovaného podprostoru.
5. 12. 2013
Obecné lepení okruhovaných prostorů, produkty abstraktních předalgebraických množin, abstraktní algebraické množiny a kritérium přes uzavřenost diagonály Δ(X) produktu X x X.
12. 12. 2013
Projektivní algebraické množiny, noetherovské topologické prostory, obecný rozklad na ireducibilní komponenty.
19. 12. 2013
Projektivní věta o nulách, projektivní algebraické množiny jako okruhované prostory a abstraktní algebraické množiny.
3. 1. 2014
Uzavřenost morfismů z projektivních algebraických množin, začátek Krullovy dimenze.
9. 1. 2014
Výpočet Krullovy dimenze afinních a projektivních prostorů, úvod k lokálním okruhům.

Literatura

Jde o novou přednášku a skripta bohužel nejsou k dispozici. Jádro přednášky je nicméně prezentováno podle následujících dvou zdrojů, které jsou dostupné on-line v PDF:

[Ga] A. Gathmann, Algebraic geometry, skripta kurzu z Kaiserslautern, 2002/2003. [PDF ke stažení]
[Ful] W. Fulton, Algebraic Curves (An Introduction to Algebraic Geometry), 2008. [PDF ke stažení]

Přednášené výsledky jsou doplněny o některá fakta z komutativní algebry, která jsou k nalezení v následujících (off-line) zdrojích:

[AM] M. F. Atiyah, I. G. MacDonald, Introduction to Commutative Algebra, Addison-Wesley Publishing Co., 1969.
[CLO] D. Cox, J. Little, D. O'Shea, Ideals, varieties, and algorithms, Second Edition, Springer, New York, 2005.
[Na] M. Nagata, Local Rings, John Wiley & Sons, 1962.
[Nee] A. Neeman, Algebraic and Analytic Geometry, LMS Lecture Note Series 345, Cambridge, 2007.

V češtině lze leccos nalézt i v provizorních skriptech od prof. Drápala:

[Dr1] A. Drápal, Komutativní okruhy. [PDF ke stažení]
[Dr2] A. Drápal, Algebraická geometrie - geometrická čast. [PDF ke stažení]
[Dr3] A. Drápal, Algebraická geometrie - algebraická čast. [PDF ke stažení]