Algebraická geometrie (NMAG401) - informace k přednášce v zimním semestru 2015/2016.

Upozornění: Tato stránka se týkala přednášky v zimním semestru 2015/2016. Odkaz na aktuální přednášku hledejte na domovské stránce.

Aktuálně

Sylabus a základní informace viz popis předmětu ve Studijním informačním systému.

Rozvrh (k nalezení též v SISu):

  • přednáška ve čtvrtek 10:40-12:10 hod. v místnosti K5,
  • cvičení ve čtvrtek 12:20-13:50 hod. v místnosti K5.

Zkouška

Zkouška je ústní a termíny jsou podle individuální domluvy.

Zápočet

Zápočet bude udělován za odevzdané vyřešené příklady. Půjde o tři sady příkladů, které budou vypisovány níže. Požaduji alespoň 50 % vyřešených příkladů v uvedených termínech.

Příklady č. 1 (termín odevzdání 3. prosince)

  1. Nechť K je algebraicky uzavřené těleso a I ⊆ K[x1, ..., xn] je ideál. Ukažte, že radikál ideálu I je roven průniku všech maximálních ideálů K[x1, ..., xn], které I obsahují.
  2. Najděte generátory maximálního ideálu M okruhu R[x,y] polynomů nad reálnými čísly, který má nulu v bodě (2 + 3i, 5 - 2i) ∈ A².
  3. Nechť C je těleso komplexních čísel a uvažujte okruh R = C[x,y]/(xy) a prvek f := x-y ∈ R. Ukažtě, že lokalizovaný okruh Rf (kde invertujeme prvek f ∈ R) je isomorfní okruhu C[x±1] × C[y±1].

Příklady č. 2 (termín odevzdání 17. prosince)

  1. C-algebraickou podmnožinu X ⊆ A2 nazveme kuželosečkou, pokud je tvaru X = V({f(x,y)}), kde f(x,y) je nenulový polynom celkového stupně 2. Ukažte, že každá ireducibilní kuželosečka je isomorfní buď V({y-x2}) nebo V({xy-1}).
  2. Nechť X = V({x3 + y3 - 3x2 - 3y2 +3xy +1}) je rovinná křivka definovaná nad tělesem komplexních čísel. Najděte všechny singulární body X a v těchto singulárních bodech všechny tečné přímky.
  3. Ukažte, že varieta X z předchozího příkladu je biracionálně ekvivalentní komplexní afinní přímce.

Příklady č. 3 (termín odevzdání 14. ledna)

  1. Nechť K je algebraicky uzavřené těleso. Definujeme zobrazení i z množiny dvoudimenzionálních podprostorů V ⊆ K4 do projektivního prostoru P5 následovně. Vezmeme ve V libovolné dva lineárně nezávislé vektory v = (a0, a1, a2, a3) a w = (b0, b1, b2, b3), jejich složky zapíšeme do matice 2x4

    \begin{pmatrix} a_0 & a_1 & a_2 & a_3 \\ b_0 & b_1 & b_2 & b_3 \end{pmatrix}

    a spočítáme (v nějakém pevném pořadí) všech 6 determinantů d0, d1, ..., d5 podmatic velikosti 2x2. Pak i bude zobrazovat V na (d0 : d1 : ... : d5).

    1. Ukažte, že i je dobře definované prosté zobrazení.
    2. Ukažte, že obraz G zobrazení i je projektivní varieta zadaná v P5 jednou kvadratickou rovnicí.
    3. Ukažte, že G lze jakožto abstraktní varietu pokrýt 6 otevřenými podmnožinami isomorfními A4.

    (Nápověda: Použijte na matici 2x4 Gaussovu eliminaci.)

  2. Uvažujte šestidimenzionální podprostor V všech polynomů z C[x,y] stupně nejvýše 2 a odpovídající projektivní prostor P5 tvořený přímkami ve V. Ukažte, že ireducibilní kuželosečky v komplexním afinním prostoru A2 jsou parametrizovány Zariski otevřenou podmnožinou P5.

Co bylo probráno

Zde je uveden orientační seznam probrané látky po jednotlivých přednáškách, včetně odkazů do literatury.

8. 10. 2015
Afinní algebraické množiny, přiřazení V a I, Zariského topologie, rozklad noetherovského topologického prostoru na ireducibilní komponenty, algebraické variety ([Ful], kap. 1.2, 1.3, 1.5, 6.1; [Ga], kap. 1.1).
15. 10. 2015
Charakterizace variet přes prvoideály, polynomiální zobrazení, vztah mezi polynomiálními zobrazeními a homomorfismy souřadnicových okruhů ([Ful], kap. 1.5, 2.1, 2.2; [Ga], kap. 1.3).
22. 10. 2015
Lokalizace okruhů, slabá věta o nulách, radikálové ideály ([Ful], kap. 1.7, 1.10; [AM], kap. 3).
5. 11. 2015
Hilbertova věta o nulách, charakterizace souřadnicových okruhů mezi algebrami, maximální ideály souřadnicových okruhů, standardní báze Zariského topologie, geometrický význam lokalizace K[X]f ([Ful], kap. 1.7, 6.1; [Ga], kap. 1.2, 2.1).
12. 11. 2015
Geometrický význam lokalizace K[X]f (důkaz), regulární funkce a jejich popis na bázových otevřených množinách Zariského topologie ([Ful], kap. 2.4; [Ga], kap. 2.1).
26. 11. 2015
Popis OX(U) na bázových otevřených množinách U Zariského topologie (důkaz), lokální okruhy v bodech algebraické množiny ([Ful], kap. 2.4; [Ga], kap. 2.1).
3. 12. 2015
Lokální okruhy v bodech algebraické množiny (pokračování), kotečný prostor ([Ful], kap. 2.4, 2.9; [Ga], kap. 2.1).
10. 12. 2015
Charakterizace nesingulárních bodů na rovinných křivkách, (ne)singulární body na algebraických množinách obecně, svazky K-algeber, okruhované prostory ([Ful], kap. 3.1, 3.2; [Ga], kap. 2.2, 4.4).
17. 12. 2015
Homomorfismy okruhovaných prostorů, afinní otevřené množiny, abstraktní algebraické množiny ([Ga], kap. 2.3 - 2.5; [Nee], kap. 2).
7. 1. 2016
Abstraktní algebraické množiny a kritérium přes uzavřenost diagonály Δ(X) produktu X x X, projektivní algebraické množiny, projektivní věta o nulách, projektivní algebraické množiny coby abstraktní algebraické množiny ([Ful], kap. 4.1, 4.2; [Ga], kap. 2.5, 3.1 - 3.3).
14. 1. 2016
Uzavřenost morfismů z projektivních algebraických množin, Krullova dimenze a náznak jejího výpočtu pro afinní a projektivní prostory ([Ga], kap. 3.4, 4.1, 4.2).

Literatura

Algebraická geometrie je velmi široký obor, o kterém jsou napsány tisíce stránek z různých pohledů. Určitou představu (příp. doporučení, kudy dále pro zájemce) si lze udělat na tomto blogu na mathoverflow.net. Jádro přednášky je prezentováno podle následujících dvou zdrojů, které jsou dostupné on-line v PDF:

[Ga] A. Gathmann, Algebraic geometry, skripta kurzu z Kaiserslautern, 2002/2003. [PDF ke stažení]
[Ful] W. Fulton, Algebraic Curves (An Introduction to Algebraic Geometry), 2008. [PDF ke stažení]

Přednášené výsledky jsou doplněny o některá fakta, která jsou k nalezení v následujících (off-line) zdrojích:

[Sh] I. R. Shafarevich, Basic algebraic geometry 1, Varieties in projective space, 2. vyd., Springer-Verlag, Berlin, 1994.
[AM] M. F. Atiyah, I. G. MacDonald, Introduction to Commutative Algebra, Addison-Wesley Publishing Co., 1969.
[CLO] D. Cox, J. Little, D. O'Shea, Ideals, varieties, and algorithms, Second Edition, Springer, New York, 2005.
[Na] M. Nagata, Local Rings, John Wiley & Sons, 1962.

V češtině lze leccos nalézt i v provizorních skriptech od prof. Drápala:

[Dr1] A. Drápal, Komutativní okruhy. [PDF ke stažení]
[Dr2] A. Drápal, Algebraická geometrie - geometrická čast. [PDF ke stažení]
[Dr3] A. Drápal, Algebraická geometrie - algebraická čast. [PDF ke stažení]

Další odkazy