Algebraická geometrie [Jan Šťovíček]

Upozornění: Tato stránka se týkala přednášky v zimním semestru 2015/2016. Odkaz na aktuální přednášku hledejte na domovské stránce.

Aktuálně

Sylabus a základní informace viz popis předmětu ve Studijním informačním systému.

Rozvrh (k nalezení též v SISu):

přednáška ve čtvrtek 10:40-12:10 hod. v místnosti K5,
cvičení ve čtvrtek 12:20-13:50 hod. v místnosti K5.

Zkouška

Zkouška je ústní a termíny jsou podle individuální domluvy.

Zápočet

Zápočet bude udělován za odevzdané vyřešené příklady. Půjde o tři sady příkladů, které budou vypisovány níže. Požaduji alespoň 50 % vyřešených příkladů v uvedených termínech.

Příklady č. 1 (termín odevzdání 3. prosince)

Nechť K je algebraicky uzavřené těleso a I ⊆ K[x₁, ..., x_n] je ideál. Ukažte, že radikál ideálu I je roven průniku všech maximálních ideálů K[x₁, ..., x_n], které I obsahují.
Najděte generátory maximálního ideálu M okruhu R[x,y] polynomů nad reálnými čísly, který má nulu v bodě (2 + 3i, 5 - 2i) ∈ A².
Nechť C je těleso komplexních čísel a uvažujte okruh R = C[x,y]/(xy) a prvek f := x-y ∈ R. Ukažtě, že lokalizovaný okruh R_f (kde invertujeme prvek f ∈ R) je isomorfní okruhu C[x^±1] × C[y^±1].

Příklady č. 2 (termín odevzdání 17. prosince)

C-algebraickou podmnožinu X ⊆ A² nazveme kuželosečkou, pokud je tvaru X = V({f(x,y)}), kde f(x,y) je nenulový polynom celkového stupně 2. Ukažte, že každá ireducibilní kuželosečka je isomorfní buď V({y-x²}) nebo V({xy-1}).
Nechť X = V({x³ + y³ - 3x² - 3y² +3xy +1}) je rovinná křivka definovaná nad tělesem komplexních čísel. Najděte všechny singulární body X a v těchto singulárních bodech všechny tečné přímky.
Ukažte, že varieta X z předchozího příkladu je biracionálně ekvivalentní komplexní afinní přímce.

Příklady č. 3 (termín odevzdání 14. ledna)

Nechť K je algebraicky uzavřené těleso. Definujeme zobrazení i z množiny dvoudimenzionálních podprostorů V ⊆ K⁴ do projektivního prostoru P⁵ následovně. Vezmeme ve V libovolné dva lineárně nezávislé vektory v = (a₀, a₁, a₂, a₃) a w = (b₀, b₁, b₂, b₃), jejich složky zapíšeme do matice 2x4

$\begin{pmatrix} a_0 & a_1 & a_2 & a_3 \\ b_0 & b_1 & b_2 & b_3 \end{pmatrix}$

a spočítáme (v nějakém pevném pořadí) všech 6 determinantů d₀, d₁, ..., d₅ podmatic velikosti 2x2. Pak i bude zobrazovat V na (d₀ : d₁ : ... : d₅).
1. Ukažte, že i je dobře definované prosté zobrazení.
2. Ukažte, že obraz G zobrazení i je projektivní varieta zadaná v P⁵ jednou kvadratickou rovnicí.
3. Ukažte, že G lze jakožto abstraktní varietu pokrýt 6 otevřenými podmnožinami isomorfními A⁴.
(Nápověda: Použijte na matici 2x4 Gaussovu eliminaci.)
Uvažujte šestidimenzionální podprostor V všech polynomů z C[x,y] stupně nejvýše 2 a odpovídající projektivní prostor P⁵ tvořený přímkami ve V. Ukažte, že ireducibilní kuželosečky v komplexním afinním prostoru A² jsou parametrizovány Zariski otevřenou podmnožinou P⁵.

Co bylo probráno

Zde je uveden orientační seznam probrané látky po jednotlivých přednáškách, včetně odkazů do literatury.

8. 10. 2015: Afinní algebraické množiny, přiřazení V a I, Zariského topologie, rozklad noetherovského topologického prostoru na ireducibilní komponenty, algebraické variety ([Ful], kap. 1.2, 1.3, 1.5, 6.1; [Ga], kap. 1.1).
15. 10. 2015: Charakterizace variet přes prvoideály, polynomiální zobrazení, vztah mezi polynomiálními zobrazeními a homomorfismy souřadnicových okruhů ([Ful], kap. 1.5, 2.1, 2.2; [Ga], kap. 1.3).
22. 10. 2015: Lokalizace okruhů, slabá věta o nulách, radikálové ideály ([Ful], kap. 1.7, 1.10; [AM], kap. 3).
5. 11. 2015: Hilbertova věta o nulách, charakterizace souřadnicových okruhů mezi algebrami, maximální ideály souřadnicových okruhů, standardní báze Zariského topologie, geometrický význam lokalizace K[X]_f ([Ful], kap. 1.7, 6.1; [Ga], kap. 1.2, 2.1).
12. 11. 2015: Geometrický význam lokalizace K[X]_f (důkaz), regulární funkce a jejich popis na bázových otevřených množinách Zariského topologie ([Ful], kap. 2.4; [Ga], kap. 2.1).
26. 11. 2015: Popis O_X(U) na bázových otevřených množinách U Zariského topologie (důkaz), lokální okruhy v bodech algebraické množiny ([Ful], kap. 2.4; [Ga], kap. 2.1).
3. 12. 2015: Lokální okruhy v bodech algebraické množiny (pokračování), kotečný prostor ([Ful], kap. 2.4, 2.9; [Ga], kap. 2.1).
10. 12. 2015: Charakterizace nesingulárních bodů na rovinných křivkách, (ne)singulární body na algebraických množinách obecně, svazky K-algeber, okruhované prostory ([Ful], kap. 3.1, 3.2; [Ga], kap. 2.2, 4.4).
17. 12. 2015: Homomorfismy okruhovaných prostorů, afinní otevřené množiny, abstraktní algebraické množiny ([Ga], kap. 2.3 - 2.5; [Nee], kap. 2).
7. 1. 2016: Abstraktní algebraické množiny a kritérium přes uzavřenost diagonály Δ(X) produktu X x X, projektivní algebraické množiny, projektivní věta o nulách, projektivní algebraické množiny coby abstraktní algebraické množiny ([Ful], kap. 4.1, 4.2; [Ga], kap. 2.5, 3.1 - 3.3).
14. 1. 2016: Uzavřenost morfismů z projektivních algebraických množin, Krullova dimenze a náznak jejího výpočtu pro afinní a projektivní prostory ([Ga], kap. 3.4, 4.1, 4.2).

Literatura

Algebraická geometrie je velmi široký obor, o kterém jsou napsány tisíce stránek z různých pohledů. Určitou představu (příp. doporučení, kudy dále pro zájemce) si lze udělat na tomto blogu na mathoverflow.net. Jádro přednášky je prezentováno podle následujících dvou zdrojů, které jsou dostupné on-line v PDF:

[Ga]	A. Gathmann, Algebraic geometry, skripta kurzu z Kaiserslautern, 2002/2003. [PDF ke stažení]
[Ful]	W. Fulton, Algebraic Curves (An Introduction to Algebraic Geometry), 2008. [PDF ke stažení]

Přednášené výsledky jsou doplněny o některá fakta, která jsou k nalezení v následujících (off-line) zdrojích:

[Sh]	I. R. Shafarevich, Basic algebraic geometry 1, Varieties in projective space, 2. vyd., Springer-Verlag, Berlin, 1994.
[AM]	M. F. Atiyah, I. G. MacDonald, Introduction to Commutative Algebra, Addison-Wesley Publishing Co., 1969.
[CLO]	D. Cox, J. Little, D. O'Shea, Ideals, varieties, and algorithms, Second Edition, Springer, New York, 2005.
[Na]	M. Nagata, Local Rings, John Wiley & Sons, 1962.

V češtině lze leccos nalézt i v provizorních skriptech od prof. Drápala:

[Dr1]	A. Drápal, Komutativní okruhy. [PDF ke stažení]
[Dr2]	A. Drápal, Algebraická geometrie - geometrická čast. [PDF ke stažení]
[Dr3]	A. Drápal, Algebraická geometrie - algebraická čast. [PDF ke stažení]

Algebraická geometrie