Hyperbolometrické funkcie
Sú to funkcie \(y = {\rm argsinh}\: x\) (čítame argument hyperbolického sínusu), \(y = {\rm argcosh}\: x\) (čítame argument hyperbolického kosínusu), \(y = {\rm argtgh}\: x\) (čítame argument hyperbolického tangensu), \(y = {\rm argcotgh}\: x\) (čítame argument hyperbolického kotangensu), ktoré sú inverzné k hyperbolickým funkciam.
Definice
Funkcia \(y = {\rm argsinh}\: x\) je inverzná k funkcii \(x = \sinh y;\) je definovaná na \(\mathbb{R}\) . Teda: Ak \(x\) je reálne číslo, potom \(y = {\rm argsinh}\: x\) je to jednoznačne určené číslo \(y,\) pre ktoré \(\sinh y = x.\)
Definice
Funkcia \(y = {\rm argcosh}\: x\) je inverzná k funkcii \(x = \cosh x\) uvažovanej len na intervale \(<0, +\infty);\) je definovaná pre každé \(x\) z intervalu \(<-1, +\infty)\). Teda: Ak \(1\leq x <\infty,\) , potom \(y = {\rm argcosh}\: x\) je to jednoznačne určené číslo \(y\) z intervalu \(<0, +\infty),\) pre ktoré \(\cosh y = x.\)
Definice
Funkcia \(y = {\rm argtgh}\: x\) je inverzná k funkcii \(x = {\rm tgh}\: y;\) je definovaná pre každé \(x\) z intervalu \((-1, 1).\) Teda: Ak \(-1 < x < 1,\) potom \(y = {\rm argtgh}\: x\) je to jednoznačne určené číslo \(y,\) pre ktoré \({\rm tgh}\: y = x.\)
Definice
Funkcia \(y = {\rm argcotgh}\: x\) je inverzná k funkcii \(x = {\rm cotgh}\: y;\) je definovaná pre každé \(x,\) pre ktoré \(|x| > 1.\) Teda: Ak \(|x| > 1,\) potom \(y = {\rm argcotgh}\: x\) je to jednoznačne určené číslo \(y,\) pre ktoré \({\rm cotgh}\: y = x.\)
Základné vlastnosti hyperbolometrických funkcií
V tabuľke je uvedený prehľad základných vlastnosti hyperbolometrických funkcií.
|
Hyperbolometrická funkcia |
\({\rm argsinh}\: x\) |
\({\rm argcosh}\: x\) |
\({\rm argtgh}\: x\) |
\({\rm argcotgh}\: x\) |
|
Definičný obor |
\(\mathbb{R}\) |
\(\left \langle 1, \infty \right)\) |
\((-1, 1)\) |
\((-\infty, -1)\cup (1, \infty)\) |
|
Obor funkčných hodnôt |
\(\mathbb{R}\) |
\(\left \langle 0, \infty \right)\) |
\(\mathbb{R}\) |
\((-\infty, 0)\cup (0, \infty)\) |
|
Monotónnosť |
rastúca na celom \(\mathbb{R}\) |
rastúca na intervale \(\left \langle 1, \infty \right)\) |
rastúca na intervale \((-1, 1)\) |
klesajúca na intervale\((-\infty, 0)\cup (0, \infty)\) |
Grafy hyperbolometrických funkcií a ďalších funkcií
Poznámka
Grafy hyperbolometrických funkcií sú vytvorené pomocou programu GeoGebra, kde sa používa iné značenie hyperbolometrických funkcií. Preto napríklad funkcia \({\rm argtgh}\: x\) sa v GeoGebre značí ako \({\rm atanh}\: x.\)Argument hyperbolického sínusu
V nasledujúcom obrázku sa môźme pozrieť na obecný graf funkcie argument hyperbolického sínusu.
Funkcia \(f(x)= a \cdot {\rm argsinh}\: x (b\cdot x + c) + d.\)
Poznámka
Grafy funkcií sú zobrazované pomocou apletu. V jednotlivých apletoch je možné pomocou posuvníkov meniť základné hodnoty parametrov \(a,b,c,d\) a všimnuť si tak správanie funkcií pri rôznych zmenách.
V tomto aplete pomocou posuvníkov môžme meniť základné hodnoty parametrov \(a,b,c,d.\)
Argument hyperbolického kosínusu
V nasledujúcom obrázku sa môźme pozrieť na obecný graf funkcie argument hyperbolického kosínusu.
Funkcia \(f(x)= a \cdot {\rm argcosh}\: x (b\cdot x + c) + d.\)
Argument hyperbolického tangensu
V nasledujúcom obrázku sa môźme pozrieť na obecný graf funkcie argument hyperbolického tangensu.
Funkcia \(f(x)= a \cdot {\rm argtgh}\: x (b\cdot x + c) + d.\)
Argument hyperbolického kotangensu
V nasledujúcom obrázku sa môźme pozrieť na obecný graf funkcie argument hyperbolického kotangensu.
Funkcia \(f(x)= a \cdot {\rm argcotgh}\: x (b\cdot x + c) + d.\)
