Hyperbolické funkcie
Definice
Funkcia \({\rm sinh}\: x\) (čítame hyperbolický sínus), \({\rm cosh}\: x\) (čítame hyperbolický kosínus), \({\rm tgh}\: x\) (čítame hyperbolický tangens) sú pre každé reálne \(x\) definované takto:
\(\sinh x = \frac {\large e^x - \large e^{-x}}{2}, \quad \cosh x = \frac {\large e^x + \large e^{-x}}{2}, \quad {\rm tgh}\: x = \frac {\large e^x - \large e^{-x}}{\large e^x + \large e^{-x}} = \large\frac {\sinh x} {\cosh x}.\)
Pre \(x \neq 0\) je funkcia \({\rm cotgh}\: x\) (čítame hyperbolický kotangens) definovaná vzťahom\({\rm cotgh}\: x = \frac {\large e^x + \large e^{-x}}{\large e^x - \large e^{-x}} = \large\frac {1} {{\rm tgh}\: x}.\)
Základné vlastnosti hyperbolických funkcií
V tabuľke je uvedený prehľad základných vlastnosti hyperbolických funkcií.
|
Hyperbolická funkcia |
\({\rm sinh}\: x\) |
\({\rm cosh}\: x\) |
\({\rm tgh}\: x\) |
\({\rm cotgh}\: x\) |
|
Definičný obor |
\(\mathbb{R}\) |
\(\mathbb{R}\) |
\(\mathbb{R}\) |
\((-\infty, 0)\cup (0, \infty)\) |
|
Obor funkčných hodnôt |
\(\mathbb{R}\) |
\(\left \langle 1, \infty \right)\) |
\((-1, 1)\) |
\((-\infty, -1)\cup (1, \infty)\) |
|
Monotónnosť |
rastúca na celom \(\mathbb{R}\) |
rastúca na intervale \(\left \langle 0, \infty \right)\) a klesajúca na intervale \(\left (-\infty, 0 \right \rangle \) |
rastúca na celom \(\mathbb{R}\) |
klesajúca na intervale\((-\infty, 0)\cup (0, \infty)\) |
Veta
Pre hyperbolické funkcie platí:
1. \(\sinh\ x, {\rm cotgh}\: x\) a \({\rm tgh}\: x\) sú nepárne funkcie.
2. \({\rm cosh}\: x\) je párna funkcia.
Poznámka
V dôkaze týchto viet využívame vlastnosť párnej funkcie:
\(f(x) = f(-x),\)alebo nepárnej funkcie:
\(f(-x) = -f(-x).\)Grafy hyperbolických funkcií a ďalších funkcií
Poznámka
Grafy hyperbolických funkcií sú vytvorené pomocou programu GeoGebra, kde sa používa iné značenie hyperbolických funkcií. Preto napríklad funkcia \({\rm tgh}\: x\) sa v GeoGebre značí ako \({\rm tanh}\: x.\)Hyperbolický sínus
V nasledujúcom obrázku sa môźme pozrieť na obecný graf funkcie hyperbolický sínus.
Funkcia \(f(x)= a \cdot {\rm sinh}\: x (b\cdot x + c) + d.\)
Poznámka
Grafy funkcií sú zobrazované pomocou apletu. V jednotlivých apletoch je možné pomocou posuvníkov meniť základné hodnoty parametrov \(a,b,c,d\) a všimnuť si tak správanie funkcií pri rôznych zmenách.
V tomto aplete pomocou posuvníkov môžme meniť základné hodnoty parametrov \(a,b,c,d.\)
Hyperbolický kosínus
Obecný graf funkcie hyperbolický kosínus.
Funkcia \(f(x)= a \cdot {\rm cosh}\: x (b\cdot x + c) + d.\)
V tomto aplete pomocou posuvníkov môžme meniť základné hodnoty parametrov \(a,b,c,d.\)
Hyperbolický tangens
Obecný graf funkcie hyperbolický tangens.
Funkcia \(f(x)= a \cdot {\rm tgh}\: x (b\cdot x + c) + d.\)
V tomto aplete pomocou posuvníkov môžme meniť základné hodnoty parametrov \(a,b,c,d.\)
Hyperbolický kotangens
Obecný graf funkcie hyperbolický kotangens.
Funkcia \(f(x)= a \cdot {\rm cotgh}\: x (b\cdot x + c) + d.\)
V tomto aplete pomocou posuvníkov môžme meniť základné hodnoty parametrov \(a,b,c,d.\)
Veta
Pre hyperbolické funkcie platí:
\( \cosh^2 x - \sinh^2 x = 1 \ (x \in \mathbb{R})\),
\( 1 - {\rm tgh^2}\: x = \frac {\Large 1}{\Large {\rm cosh^2}\: x} (x \in \mathbb{R}) \),
\({\rm cotgh^2}\: x - 1 = \frac {\Large 1}{\Large{\rm sinh^2}\: x}\ (x \not = 0). \)
Poznámka
Dôkaz tejto vety plynie zo základnej definicie hyperbolických funkcií. Postupnou úpravou dostávame požadované výsledky.
