Goniometrické funkcie
Základné vlastnosti goniometrických funkcií
V tabuľke je uvedený prehľad základných vlastnosti goniometrických funkcií, ktoré využívame pri riešeni príkladov. Hodnoty argumentov uvádzame väčšinou v oblúkovej miere.
|
Goniometrická funkcia |
\(\sin x\) |
\(\cos x\) |
\({\rm tg}\: x\) |
\({\rm cotg}\: x\) |
|
Definičný obor |
\(\mathbb{R}\) |
\(\mathbb{R}\) |
\(\bigcup\limits_{k\in\mathbb{Z}}\left ( -{\pi \over 2} + k\pi; {\pi \over 2} + k\pi \right ) \) |
\(\bigcup\limits_{k\in\mathbb{Z}}\left ( k\pi; (k+1)\pi \right ) \) |
|
Obor funkčných hodnôt |
\(\left \langle -1; 1 \right \rangle\) |
\(\left \langle -1; 1 \right \rangle\) |
\(\mathbb{R}\) |
\(\mathbb{R}\) |
|
Najmenšia perióda |
\(2\pi\) |
\(2\pi\) |
\(\pi\) |
\(\pi\) |
Grafy goniometrických a ďalších funkcií
Poznámka
Grafy funkcií sú zobrazené na intervale \(<-2\pi; 2\pi>.\)Sínus
V nasledujúcom obrázku sa môźme pozrieť na obecný graf funkcie sínus.
Graf funkcie \(y = \sin x\) nazývame sínusoida.
Zo sínusoidy môžme prečítať jej základné vlastnosti a porovnať ich tak s tabuľkou uvedenou na začiatku tejto kapitoly.
Funkcia \(f(x)= a \cdot \sin (b\cdot x + c) + d.\)
Takáto funkcia sa nazýva harmonická. V tomto aplete pomocou posuvníkov môžme meniť základné hodnoty parametrov \(a,b,c,d.\)
Je dôležité si všimnuť ako sa mení samotný graf pri rôznych zmenach parametrov.
Kosínus
V nasledujúcom obrázku sa môźme pozrieť na obecný graf funkcie kosínus.
Graf funkcie \(y = \cos x\) nazývame kosínusoida.
Z kosínusoidy môžme prečítať základné vlastnosti funkcie kosínus a porovnať ich tak s tabuľkou uvedenou na začiatku tejto kapitoly.
Funkcia \(f(x)= a \cdot \cos (b\cdot x + c) + d.\)
Takáto funkcia sa nazýva harmonická. V tomto aplete pomocou posuvníkov môžme meniť základné hodnoty parametrov \(a,b,c,d.\)
Opäť je dôležité si všimnuť správanie grafu funkcie pri rôznych zmenach parametrov.
Tangens
V nasledujúcom obrázku sa môźme pozrieť na obecný graf funkcie tangens.
Funkcia \(f(x)= a \cdot {\rm tg}\: (b\cdot x + c) + d.\)
V tomto aplete pomocou posuvníkov môžme meniť základné hodnoty parametrov \(a,b,c,d.\)
V prípade, že parametre \(a = 1, b = 1, c = 0, d = 0\) dostávame obecný graf funkcie tangens. Pri týchto apletoch je dôležité si všimnuť chovanie funkcie pri zmenách jednotlivých parametrov. Napríklad v špecialnom prípade, kde koeficient pri parametre \(b\) je nulový, dostávame konštantnú funkciu.Kotangens
Obecný graf funkcie kotangens je znázornený na nasledujúcom obrázku.
Funkcia \(f(x)= a \cdot {\rm cotg}\: (b\cdot x + c) + d.\)
V tomto aplete pomocou posuvníkov môžme meniť základné hodnoty parametrov \(a,b,c,d.\)
V prípade, že parametre \(a = 1, b = 1, c = 0, d = 0\) dostávame obecný graf funkcie kotangens. Pri týchto apletoch je dôležité si všimnuť chovanie funkcie pri zmenách jednotlivých parametrov. Napríklad v špecialnom prípade, kde koeficient pri parametre \(b\) je nulový, dostávame konštantnú funkciu.Prehľad základných tabuľkových hodnôt
|
|
0 |
\({\Large \pi \Large \over \large 6}\) |
\({\Large \pi \Large \over \large 4}\) |
\({\Large \pi \Large \over \large 3}\) |
\({\Large \pi \Large \over \large 2}\) |
\( \pi \) |
\({\Large 3\pi \Large \over \large 2}\) |
\( 2\pi \) |
|
0° |
30° |
45° |
60° |
90° |
180° |
270° |
360° |
|
|
\(\sin x\) |
0 |
\(\Large {1 \over 2}\) |
\(\Large {\sqrt{2} \Large \over 2}\) |
\(\Large {\sqrt{3} \Large \over 2}\) |
1 |
0 |
-1 |
0 |
|
\(\cos x\) |
1 |
\(\Large {\sqrt{3} \Large \over 2}\) |
\(\Large {\sqrt{2} \Large \over 2}\) |
\(\Large {1 \over 2}\) |
0 |
-1 |
0 |
1 |
|
\({\rm tg}\: x\) |
0 |
\(\Large {\sqrt{3} \Large \over 3}\) |
1 |
\( \sqrt{3} \) |
* |
0 |
* |
0 |
|
\({\rm cotg}\: x\) |
* |
\(\sqrt{3}\) |
1 |
\(\Large {\sqrt{3} \Large \over 3}\) |
0 |
* |
0 |
* |
Poznámka
Symbol * znamená, že pre dané x nie je funkcia definovaná.
