Zavedení komplexních čísel
Abychom mohli vyřešit také kvadratické rovnice, které nemají reálné řešení, budeme muset nejprve zavést nový číselný obor, obor komplexních čísel.
Definice
Komplexní číslo \(x\) definujeme jako uspořádanou dvojici \([x_1;x_2]\), kde \(x_1, x_2 \in \mathbb{R}\); \(x_1\) nazýváme reálnou částí a \(x_2\) imaginární částí komplexního čísla \(x\). Množinu všech komplexních čísel značíme \(\mathbb{C}\).
Poznámka
Komplexní čísla obvykle označujeme malým písmenem, např. \(x\), \(y\), \(a\), ...
Poznámka
Zápisem \(\mathrm{Re}\, x\) značíme reálnou část a zápisem \(\mathrm{Im}\, x\) imaginární část komplexního čísla \(x\).
Je-li dáno komplexní číslo \(x=[x_1;x_2]\), potom \(\mathrm{Re}\, x = x_1\) a \(\mathrm{Im}\, x = x_2\).
Definice
Dvě komplexní čísla \(x=[x_1;x_2]\) a \(y=[y_1;y_2]\) jsou si rovna právě tehdy, když jsou si rovny jejich reálné i imaginární části, tedy
\(x=y \iff (\mathrm{Re}\, x=\mathrm{Re}\, y \land \mathrm{Im}\, x=\mathrm{Im}\, y) \iff (x_1=y_1 \land x_2=y_2)\).
Úlohy
-
Určete reálnou a imaginární část následujících komplexních čísel:
-
\(a=[0;0]\)
-
\(b=[-5;0]\)
-
\(c=\left[0;\sqrt{3}\right]\)
-
\(d=\left[7;-\dfrac{3}{2}\right]\)
-
-
Nalezněte komplexní číslo \(x\), pro které platí: \(\mathrm{Re}\, x=-2\sqrt{2},\; \mathrm{Im}\, x=7,15\).
