Násobení a dělení komplexních čísel v exponenciálním tvaru
Již víme, jak vypadá součin a podíl nenulových komplexních čísel v goniometrickém tvaru. Tyto operace můžeme snadno vyjádřit ve tvaru exponenciálním.
Mějme dvě nenulová komplexní čísla
\(a=|a|(\cos\alpha+i \sin\alpha)=|a|e^{\textstyle i\alpha}\) a \(b=|b|(\cos\beta+i \sin\beta)=|b|e^{\textstyle i\beta}\).
Jejich součin a podíl můžeme spočítat takto:
\(a\cdot b=|a||b|(\cos(\alpha+\beta)+i\sin(\alpha+\beta))=|a||b|e^{\textstyle i(\alpha + \beta)}\)
\(\dfrac{a}{b}=\dfrac{|a|}{|b|}(\cos(\alpha-\beta)+i \sin(\alpha-\beta))=\dfrac{|a|}{|b|}e^{\textstyle i(\alpha - \beta)}\).
Součin nenulových komplexních čísel \(a=|a|e^{\textstyle i\alpha}\) a \(b=|b|e^{\textstyle i\beta}\) je číslo
\(|a||b|e^{\textstyle i(\alpha + \beta)}\).
Podíl nenulových komplexních čísel \(a=|a|e^{\textstyle i\alpha}\) a \(b=|b|e^{\textstyle i\beta}\) je číslo
\(\dfrac{|a|}{|b|}e^{\textstyle i(\alpha - \beta)}\).
Příklad
Vypočítejte součin komplexních čísel \(a=\sqrt{2}e^{\textstyle i\frac{3\pi}{4}}\) a \(b=3e^{\textstyle i\frac{\pi}{6}}\).
Řešení
\(a\cdot b=\sqrt{2}e^{\textstyle i\frac{3\pi}{4}}\cdot3e^{\textstyle i\frac{\pi}{6}}=\sqrt{2}\cdot3\cdot e^{\textstyle i\left(\frac{3\pi}{4}+\frac{\pi}{6}\right)}=\)
\(=3\sqrt{2}e^{\textstyle i\frac{9\pi+2\pi}{12}}=3\sqrt{2}e^{\textstyle i\frac{11\pi}{12}}\)
Příklad
Vypočítejte podíl \(\dfrac{a}{b}\) komplexních čísel \(a=3e^{\textstyle i\frac{5\pi}{6}}\) a \(b=6e^{\textstyle i\frac{\pi}{3}}\).
Řešení
\(\dfrac{a}{b}=\dfrac{ 3e^{\textstyle i\frac{5\pi}{6}} }{ 6e^{\textstyle i\frac{\pi}{3}} }=\dfrac{1}{2}e^{\textstyle i\left(\frac{5\pi}{6}-\frac{\pi}{3}\right)}=\dfrac{1}{2}e^{\textstyle i\frac{5\pi-2\pi}{6}}=\)
\(=\dfrac{1}{2}e^{\textstyle i\frac{3\pi}{6}}=\dfrac{1}{2}e^{\textstyle i\frac{\pi}{2}}\)
Poznámka
Exponenciální tvar komplexních čísel je stejně jako goniometrický tvar výhodný pro operace násobení a dělení.
Násobení a dělení komplexních čísel v exponenciálním tvaru odpovídají násobení a dělení mocnin o stejném základu.
Úlohy