Přednášky z MA 1b (duben 2006)

Přednáška 13 (úterý 4.4.2006): Podprostor metrického prostoru. Izometrické zobrazení (P,\rho) na (Q,\sigma). Izometrické prostory (symetrický vztah). Př. (8) přenesení metriky prostým zobrazením, které se tak stane izometrií. Izometrie C a R, izometrické vnoření R do C. (9) Metrika na rozšířené reálné ose (pomocí rozšíření T(x) = x / (1 + | x |) limitami). (10) Součin metrických prostorů. A^m se "součtovou normou" je kartézský součin m kopií R. Otevřené a uzavřené množiny. Jejich systémy v MP - vlastnosti. Okolí v širším a užším smyslu. Topologie, topologický prostor. Spojitost zobrazení mezi MP, spec. spojitost funkce v bodě. Možnost práce s okolími v širším a užším smyslu. Problém limity v MP. Limita posloupnosti v MP. Hromadné a limitní body množiny.

Přednáška 14 (čtvrtek 6.4.2006): Původ značení supremove normy (|| . ||_\infty) v A^m. Vnitřní a hraniční body M \subset (P,\rho). Vnitřek, hranice, uzávěr množiny M \subset (P,\rho). Hromadné a izolované body M. Limitní body M. Některé elementární vztahy pro uzávěr, vnitřek a hranici M. Spojitost zobrazení - ekvivalentní podmínky. Znění věty o globální spojitosti zobrazení.

Přednáška 15 (úterý 11.4.2006): Příklady na použití aparátu MP: Množina  M'  všech hromadných bodů množiny P \subset (P, \rho) je uzavřená. Lineární funkcionál "R-integrál přes [ a, b ]" je spojitý na prostoru C ([a, b]) se supremovou normou. Vzdálenost bodu x od neprázdné A \subset (P,\rho) je spojitá na P. Funkční oddělování A,B \subset (P,\rho) uzavřených spojitou funkcí f s H_f  = [0,1]. Charakteristika globální spojitosti f : (P,\rho) --> (Q,\sigma) pomocí vzorů otevřených a uzavřených množin. Ekvivalentní normy a ekvivalentní metriky - porovnání.

Přednáška 16 (čtvrtek 13.4.2006): Přednáška odpadla pro nemoc přednašejícího.

Přednáška 17 (úterý 18.4.2006): Izometrie a homeomorfismus MP, příklady. Ekvivalentní metriky a homeomorfismy. Metrické a topologické vlastnosti MP, příklady. Bolzano-Cauchyho podmínka konvergence posloupnosti v MP. Analogicky: stejnoměrná spojitost, atp. Množina A hustá v B, hustá množina (v celém (P,\rho)). Různý popis hustoty množiny. Řídká množina, příklady. Separabilita prostoru, příklady. Součin separabilních prostorů je separabilní.  

Přednáška 18 (čtvrtek 20.4.2006): Separabilita C([a,b]) (přes po částech lineární funkce). Je-li A řídká uzavřená (hustá otevřená), je její komplement hustá (řídká) množina. Alternativní definice řídké množiny: vnitřek jejího uzávěru je prázdná množina. Množiny 1. a 2. kategorie (Bairova klasifikace). Úplný prostor. Příklady: R, R^m, diskrétní prostor, C([a,b]). Zúplnění (úplný obal) MP s náznakem důkazu tvrzeni o existenci.

Přednáška 19 (úterý 25.4.2006): Úplnost prostoru C([a, b]) - důkaz. Důležitá tvrzení v úplných MP: Cantorova věta o průniku nerostoucí posloupnosti neprázdných uzavřených množin s diametrem konvergujícím k 0. Definice kontrakce. Banachova věta o pevném bodu. Baireova věta o hustotě průniku hustých otevřených množin v MP. Úplný metrický prostor je (v sobě) 2. kategorie.

Přednáška 20 (čtvrtek 27.4.2006): Objasnění:  Úplný metrický prostor je (v sobě) 2. kategorie.Otevřenost v M \subset (P, \rho) a v (P, \rho) - k rozmyšleni. Pokrytí, otevřené pokrytí. Definice kompaktní množiny (prostoru). Centrovaný systém - duální popis kompaktnosti pomocí uzavřených množin. Totální omezenost, konečná \eps-síť. Totálně omezený prostor je omezený. Totálně omezený prostor je separabilní. Kompaktní M \subset (P, \rho) je uzavřená. Nelze obrátit: omezená a uzavřená není obecně kompaktní.

Předcházející přednášky viz (říjen05, listopad05, prosinec05, únor06, březen06)
Následující přednášky viz (květen06)