Přednášky z MA 1a pro M1 (říjen 2005)

Přednáška 1. (3.10., pondělí) Základní informace o studiu předmětu, o cvičeních a proseminářích. Základy výrokového počtu, jednoargumentové a dvouargumentové operace s výroky, výrokové formy. Kvantifikátory a jejich negování. Tabulková metoda ověření pravdivosti některých výroků. Pojem množiny. Vztahy "býti prvkem" a "býti podmnožinou", základní operace s množinami a jejich vlastnosti (komutativita, asociativita,...). Reálná čísla, základní vlastnosti operací s nimi.

Přednáška 2. (7.10., pátek) Dvojice (R,+) a (R\setminus {0}, .) tvoří komutativní grupy s neutrálními prvky "0" a "1", distributivní zákon, popis komutativního pole (tělesa), vlastnosti vztahu a < b. Axiomy uspořádání R. Kartézský součin, podmnožiny kartézského součinu. Relace na množině A jako podmnožina A x A. Vlastnosti: reflexivita, symetrie, tranzitivita (ekvivalence), antisymetrie. Reflexivní, antisymetrická a tranzitivní relace (uspořádání), lineární uspořádání. Horní a dolní odhad A\subset R. Supremum a infimum. Třináctý axiom pro R Zobrazení "z A do B" jako předpis, jako podmnožina A x B. Vlastnosti.  Zobrazení "A do B", definiční obor a obor hodnot zobrazení f. Obraz a vzor množiny.

Přednáška 3. (10.10., pondělí) Induktivní množina v R. Množina všech přirozených čísel.  Přechod od množiny všech reálných čísel R k přirozeným (N), celým (Z), racionálním (Q), Dedekindovy řezy. Předpis a definiční obor versus podmnožina kartézského součinu. Důležité licence (zobrazeni x funkce, "určení definičního oboru zobrazení", atp.). Rozšíření a zúžení (restrikce) zobrazení, prosté a inverzní zobrazení, skládání zobrazení. Funkce, reálné funkce, reálné funkce reálné proměnné ( = funkce). Funkce shora a zdola omezené, omezené. Posloupnosti, konečné posloupnosti, zobecněné posloupnosti. Základní označení.

Přednáška 4. (14.10., pátek) Zavedení funkce absolutní hodnota, její základní vlastnosti. Měření vzdálenosti v R. Omezená posloupnost, popis pomocí kvantifikátorů. Definice limity, konvergentní posloupnost. Každá konvergentní posloupnost je omezená. Rozbor definice limity. Limita a aritmetické operace s posloupnostmi (včetně pomocných tvrzeni: limita posloupnosti {| a_k |}, limita 1/a_k apod.).

Přednáška 5. (17.10., pondělí) Dokončení důkazu věty o limitách a aritmetických operacích. Vztah limit a uspořádání. Intervaly (omezené, neomezené; otevřené, uzavřené). Monotonie posloupnosti: posloupnosti rostoucí, neklesající, klesající, nerostoucí, monotónní, konstantní). Neklesající shora omezená posloupnost v R má limitu v R (¨lim a_k = \sup {a_k; k \in N}), vztah k axiomatice pro R. Bolzano-Cauchyho podmínka pro existenci limity. Cantorova věta (důkaz příště).

Přednáška 6. ( 21.10., pátek) Důkaz Cantorovy věty. Konečnost a spočetnost. Cantorův důkaz nespočetnosti nedegenerovaného intervalu v R. Bolzano-Cauchyho podmínka - ekvivalence s konvergencí. Vybraná posloupnost ("podposloupnost") z posloupnosti. "Početní" lemmata: "omezená a konvergentní k 0, vybrané posloupnosti z konvergentní, existence dvou vybraných s různou limitou. Motivace pro vyšetřování nevlastních limit (přes harmonickou řadu). Definice nevlastních limit a popis okolí nekonečna. 

Přednáška 7. (24.10., pondělí, Dr. Lavička, PhD) Zavedení rozšíření R. Limity a aritmetika. Limita a nerovnosti (věta "o dvou policajtech"). Tím prakticky končí látka o posloupnostech.

Přednáška 8. ( 28.10., pátek) Státní svátek ČR

Přednáška 9. (31.10., pondělí) Zopakování obecných poznatků o zobrazeních a funkcích. Role spojitosti  funkce f při řešení rovnice y = f(x) ("malé změny y dávají malé odchylky x"). Definice součtu funkcí f, g (rozmyslit pro f -g, f.g, f-g). Povídání o spojitosti, definice spojitosti, spojitost součtu funkcí f,g v bodě a ze spojitosti f,g v bodě a. Definice spojitosti přes posloupnosti, jednoduché vlastnosti funkcí (výhled).

Následující přednášky viz (listopad 05, prosinec 05, leden06)