Přednášky z MA 1b (březen 2006)

Přednáška 4 (čtvrtek 2.3.2006): "Lepení" při užití substituce "\tg (x/2) = t". Eulerovy substituce. Motivace zavedení zobecněné primitivní funkce (zpf). Dvě zpf k téže funkci se liší pouze o aditivní konstantu. Definice Newtonova integrálu. Program dalšího postupu. 

Přednáška 5 (úterý 7.3.2006): Základní poznatky o Newtonově integrálu. N-integrál jako lineární funkcionál na N(a,b), jeho nezápornost a monotonie. Aditivita vůči oboru, existence integrálu na (c,d) \subset (a,b). Per partes a substituce pro Newtonův integrál. Úvod k Riemannovu integrálu.

Přednáška 6 (čtvrtek 9.3.2006): Riemannův integrál - základní potřebné pojmy. Dělení intervalu [a,b], norma dělení. Horní a dolní součty S(f ; D) a s(f ; D). Zjemnění dělení. Vliv na S(f ; D) a s(f ; D). Nerovnost s(f ; D_1) \leq S(f ; D_2). Definice horního a dolního integrálu, definice Riemannova integrálu. Nutná a postačující podmínka pro existenci s S(f ; D) - s(f ; D) < \eps. Existence R-integrálu ze spojité a z monotónní funkce (důkaz příště).

Přednáška 7 (úterý 14.3.2006):  Existence R-integrálu ze spojité a z monotónní funkce. Další vlastnosti Riemannova integralu: R(a,b) je lineární prostor, R-integrál je na něm lineárním funkcionálem; tento funkcionál je nezáporný a tedy i monotónní. Je-li f \in R(a,b) a [c,d] \subset [a,b], je restrikce f | [c,d] \in R(c,d). R-integrál má vlastnosti plochy (aditivita vůči oboru, monotonie a integruje správně konstanty).

Přednáška 8 (čtvrtek 16.3.2006): Existence primitivní funkce F ke spojité funkci na (a,b). Základní odhad pro R-integrál. K tomu: z  f  \in R(a.b) plyne f ^ +, f ^ - a |f| \in R(a,b). R-integrál a integrální součty \sigma( f, D, \zeta). Konverguje-li norma dělení D_k k 0 a f \in R(a.b), pak \sigma(f,D_k,\zeta) konverguje k R-integrálu z f.

Přednáška 9 (úterý 21.3.2006): Komentář k posledně dokazované větě - volba D_1. Existují-li R- a N-integrál z f přes interval (a.b), mají touž hodnotu. Křivka a její délka. Vzorec pro délku grafu funkce. Objem a povrch rotačního tělesa. Integrál ze (sin x)/x od 0 do +\infty. Jeho neabsolutní konvergence (elementární důkaz). Srovnávací kriterium.

Přednáška 10 (čtvrtek 23.3.2006): Kritéria konvergence pro neabsolutně konvergentní integrály (Abel, Dirichlet). Závěrečné poznámky k integrálu. Úvod k diferenciálním rovnicím.

Přednáška 11 (úterý 28.3.2006): Obecná terminologie: řešení rovnice, maximální řešení rovnice, úplné řešení rovnice. Řád a stupeň rovnice. Lineární diferenciální rovnice 1.řádu - řešení. Lineární prostor řešení rovnice s nulovou pravou stranou. Metody hledání partikulárního řešení: integrační faktor, variace konstanty. Další zkoumání vyžaduje teoretický základ: Úvod k metrickým prostorům.

Přednáška 12 (čtvrtek 30.3.2006): Příklady metrických prostorů (MP): (1) normované lineární prostory, (2) prostor A^m m-tic reálných čísel 
s různými normami, R jako MP (3) C ( [a, b] ) s maximovou normou (4) diskrétní prostor (5) A^m s eukleidovskou normou: R^m 
(6) Lineární prostor se skalárním součinem (7)  C ( [a, b] ) s integrální normou. Nerovnosti mezi normami. Dále vzdálenost množin a diametr množiny. Koule B(x, r), uzavřená koule K(x, r), sféra. Situace v diskrétním (ultrametrickém) prostoru. 

Předcházející přednášky viz (říjen05, listopad05, prosinec05, únor06)
Následující přednášky viz (duben06, květen06)