Komplexní analýza 1Informace ve Studijním informačním systémuPodmínky získání zápočtu Program jednotlivých přednášek a cvičení |
Obsah jednotlivých přednášek a cvičeníPřednáška č. 1 - 19.2.2018Úvodní informace - stručný obsah kurzu, návaznost na předchozí kurz, doporučená literatura- Začátek Kapitoly VI (Meromorfní funkce), byl probrán oddíl VI.1 (Základní pojmy a vlastnosti). Cvičení č. 1 - 19.2.2018 Informace o zápočtech, zadání prvních pěti referátů. Dále některé vlastnosti funkce Γ - jde o meromorfní funkci na C, důkaz vztahu Γ(s)Γ(1-s)=π/sin(πz), funkce B, rovnost Γ(p)Γ(q)=B(p,q)Γ(p+q), funkce Γ nenabývá nuly, 1/Γ je celá funkce. Dále vlastnosti funkce ζ - připomenutí definice, lemma o reprezentaci (první krok dokázán). Přednáška č. 2 - 26.2.2018 Oddíl VI.2 (Rouchéova věta a její důsledky) - do Věty 7 včetně. Cvičení č. 2 - 26.2.2018 Referát o zachovávání indexu při homotopii. Zadání dalších dvou referátů. Reprezentace funkce ζ, její rozšíření na meromorfní funkci na celé komplexní rovině. Výpočet hodnoty ζ(0)=−1/2; další vlastnosti reprezentace. Přednáška č. 3 - 5.3.2018 Dokončení oddílu VI.2 - od Důsledku 8 do konce oddílu. Začátek oddílu VI.3 (Vsuvka o nekonečných součinech) - do Větičky 13, včetně následujících poznámek. Cvičení č. 3 - 5.3.2018 Dva referáty - důkaz propichovací věty o indexu; aplikace Rouchéovy věty (důkaz základní věty algebry, Hurwitzova věta). Přednáška č. 4 - 12.3.2018 Dokončení oddílu VI.3 - od Věty 14 do konce oddílu. Začátek oddílu VI.4 (Konstrukce holomorfních a meromorfních funkcí) - znění Lemmatu 17 (důkaz odložen), Věta 18 včetně důkazu. Cvičení č. 4 - 12.3.2018 Rozklad funkce sin(πz) na kořenové činitele, vyjádření funkce ζ pomocí nekonečného součinu na polorovině Re(s)>1, jako důsledek její nenulovost na této polorovině, triviální kořeny (z Riemannovy formule, prozatím nedokázané). Přednáška č. 5 - 19.3.2018 Pokračování oddílu VI.4 - důkaz znění Lemmatu 17, dále od Důsledku 19 do konce oddílu; důkaz Věty 21 nebyl ještě dokončen. Cvičení č. 5 - 19.3.2018 Dva referáty - Weierstrassova věta o faktorizaci pro obecnou otevřenou množinu; interpolační problém a jeho aplikace (bude ještě dokončen). Přednáška č. 6 - 26.3.2018 Dokončení oddílu VI.4 - dokončení důkazu Věty VI.21. Dále začátek Kapitoly VII (Algebra holomorfních funkcí), a to oddíl VII.1 (Metrická struktura algeber H(G) a C(G)) - do Lemmatu 2 včetně. Cvičení č. 6 - 26.3.2018 Dokončení referátu z minulého týdne; rozklad funkce zcotg2z “na parciální zlomky” (aplikace Věty VI.21); výpočet integrálu ∫0∞ ln(x)/(1+x)3 dx pomocí reziduové věty. Přednáška č. 7 - 9.4.2018 Pokračování oddílu VII.1 - od definic za Lemmatem 2 do Věty 4 včetně první části důkazu. Cvičení č. 7 - 9.4.2018 Referát - Jensenův vzorec a jeho aplikace na rozložení nulových bodů celých funkcí. Dále integrální vzorec pro ζ(s)Γ(s). Přednáška č. 8 - 16.4.2018 Dokončení oddílu VII.1 - zbytek důkazu Věty 4, její důsledek a Věta 5 včetně důkazu. Poznámka za Větou 5 byla jen zmíněna, ilustrována příklady bude později na cvičení. Dále začátek oddílu VII.2 (Duál k H(G)) - Věta 6 (znění a komentář, důkaz nebyl proveden, znění je známo z funkcionální analýzy), Věta 7 včetně větší části důkazu (implikace 1⇒2⇒3⇒4). Cvičení č. 8 - 16.4.2018 Referát - Blaschkeho součiny a nulové body omezených holomorfních funkcí na kruhu. Dále - stručné schéma důkazu Riemannova vzorce pro funkci ζ. Přednáška č. 9 - 23.4.2018 Dokončení oddílu VII.2 - zbytek důkazu Věty 7 a následující poznámky. Dále začátek oddílu VII.3 (Aproximace pomocí racionálních funkcí) - Věta 8 a její důsledek. Cvičení č. 9 - 23.4.2018 Příklady, že Věta VII.4, její důsledek a Věta VII.5 neplatí pro algebru C(G). Dále popis duálu k algebře holomorfních funkcí na kruhu pomocí vhodných prostorů posloupností (s využitím Taylorova a Laurentova rozvoje), rozšíření pro holomorfní funkce na konečném sjednocení disjunktních kruhů. Dále lineární lomená zobrazení - definice; základní případy, jichž jsou všechna složením; skládání lineárních lomených zobrazení a maticová reprezentace; lineární lomená zobrazení tvoří grupu a jsou to bijekce C na C; zobrazování přímek a kružnic - začátek. Přednáška č. 10 - 30.4.2018 Dokončení oddílu VII.3 - od poznámky za důsledkem Věty 8 do konce oddílu. Přitom důkaz Věty 10 nebyl proveden, jen krátce okomentován. Cvičení č. 10 - 30.4.2018 Referát - Birkhoffova univerzální funkce (zbývá vysvětlit závěrečný krok, což bude uděláno příště. Dále lineární lomená zobrazení - zobrazování přímek a kružnic (dokončení), vztah ke kruhové inverzi. Přednáška č. 11 - 7.5.2018 Začátek kapitoly VIII (Konformní zobrazení) - byly probrány oddíly VIII.1 (Úhly a jejich zachovávání) a VIII.2 (Konformní zobrazení na C). Přitom Poznámka (4) z oddílu VIII.2 byla jen stručně zmíněna, nikoli podrobně vysvětlena a Věta VIII.6 nebyla dokázána, protože byla dokazována během posledních dvou cvičení. Cvičení č. 11 - 7.5.2018 Referát - Birkhoffova univerzální funkce (dokončení). Dále lineární lomená zobrazení - charakterizace těch, co zachovávají jednotkový kruh či pravou polorovinu, zobrazení pravé poloroviny na jednotkový kruh. Konformní zobrazení roviny bez polopřímky na kruh. Základní vlastnosti Žukovského funkce. Přednáška č. 12 - 14.5.2018 Oddíl VIII.3 (Konformní ekvivalence) - do Důsledku 9 včetně. Cvičení č. 12 - 14.5.2018 Dokončení oddílu VIII.3 - od poznámky za Důsledkem 9 do konce oddílu. Dále aplikace Schwarzova lemmatu na funkce holomorfní na polorovině. |