Program jednotlivých přednášek a cvičení
Přednáška č. 1 - 3.10.2023
Úvodní informace - stručný obsah kurzu, předpokládané znalosti, literatura atp. Stručné připomenutí potřebných znalostí z topologie. Začátek oddílu V.1
- definice topologických vektorových prostorů a lokálně konvexních prostorů.
Cvičení č. 1 - 3.10.2023
Informace k zápočtům, Příklady V.1(1)-(3) (z příkladu (3) jen část - metrika, spojitost sčítání, charakterizace pomocí lokálně stejnoměrné
konvergence)
Přednáška č. 2 - 6.10.2023
Oddíl V.1 - dokončení Příkladu V.1(3) (spojitost násobení a lokální konvexity), část bodu (5) (metrika, je to HTVS), dále pokračování oddílu až do
Tvrzení V.3 včetně.
Přednáška č. 3 - 10.10.2023
Pokračování oddílu V.1 - od Věty V.4 do Lemmatu V.7 včetně. Příklad V.6(4) byl vynechán. Důkaz bodu (2) z Věty V.4,
v němž byly nějaké nejasnosti, je k dispozici u textů k přednášce.
Cvičení č. 2 - 10.10.2023
Prezentace studentů - Příklady 38, 39 a 40 ke Kapitole V.
Dále Příklad 1 ke Kapitole V.
Přednáška č. 4 - 13.10.2023
Dokončení oddílu V.1 - doplnění důkazu spojitosti násobení ve Větě V.4(2), dále od Tvrzení V.8 do konce oddílu. Začátek oddílu V.2
(spojitá a omezená lineární zobrazení) - Tvrzení V.12 a první část Tvrzení V.13
Přednáška č. 5 - 17.10.2023
Dokončení oddílu V.2 - druhá část Tvrzení V.13 a dále do konce oddílu. Začátek oddílu V.3 (prostory konečné a nekonečné dimenze) - Tvrzení V.17
a Důsledek V.18.
Cvičení č. 3 - 17.10.2023
Prezentace studentů - příklady 19, 20, 21, 22 ke Kapitole V. Spojité lineární funkcionály na prostoru C(R,F).
Přednáška č. 6 - 20.10.2023
Dokončení oddílu V.3 - od definice totálně omezené množiny do konce oddílu. Dále začátek oddílu V.4 (metrizovatelnost lokálně
konvexních prostorů) - Tvrzení V.21.
Přednáška č. 7 - 24.10.2023
Dokončení oddílu V.4 - Věty V.23 a V.24. Začátek oddílu V.5 (Fréchetovy prostory) - do Věty V.29 (z důkazu jen část).
Cvičení č. 4 - 24.10.2023
Prezentace studentů - příklady 17, 18, 23, 24 ke kapitole V. Dále popis spojitých lineárních funkcionálů na FΓ a
charakterizace omezených množin v FN a v C(R,F).
Přednáška č. 8 - 27.10.2023
Dokončení oddílu V.5 - Věta V.29 a V.30. Začátek oddílu V.6 (rozšiřovací a oddělovací věty) - do Důsledku V.34.
Přednáška č. 9 - 31.10.2023
Dokončení oddílu V.6 (Věta 35 a Důsledek 36); začátek Kapitoly VI (Slabé topologie),
speciálně oddílu VI.1 (obecné slabé topologie a dualita) - do Příkladu 2(1).
Cvičení č. 5 - 31.10.2023
Upřesnění a oprava Příkladu 23 ke Kapitole V. Dále Příklady 1(3,4), 26 a 27 ke Kapitole V.
Přednáška č. 10 - 3.11.2023
Dokončení oddílu VI.1 (od Příkladu VI.2(2) do konce oddílu); začátek oddílu
VI.2 (slabé topologie na LCS) - do Věty VI.8 včetně.
Přednáška č. 11 - 7.11.2023
Dokončení oddílu VI.2 - Tvrzení VI.9. Začátek oddílu VI.3 (poláry a jejich aplikace) - do Věty VI.14.
Cvičení č. 6 - 7.11.2023
Studenské prezentace - příklad 41 ke Kapitole V, příklady 10, 11, 13, 14 ke Kapitole VI.
Přednáška č. 12 - 10.11.2023
Dokončení oddílu VI.3 (od Věty VI.15 do konce oddílu); začátek kapitoly VII (základy
teorie distribucí) a oddílu VII.1 (prostor testovacích funkcí a slabé derivace) - úvodní definice a poznámky.
Přednáška č. 13 - 14.11.2023
Dokončení oddílu VII.1 - od Lemmatu VII.1 do konce oddílu. Přitom ve Větě VII.4 byly druhá část bodu (b) a bod (c) jen stručně
okomentovány (podrobný důkaz je u textů k přednášce). Začátek oddílu VII.2 (distribuce - základní vlastnosti a operace) - do Lemmatu VII.5,
přičemž bod (b) zatím nebyl dokázán.
Cvičení č. 7 - 14.11.2023
Sudentské prezentace - příklady 16, 17, 18 ke Kapitole VI.
Přednáška č. 14 - 21.11.2023
Pokračování oddílu VII.2 - od Lemmatu VII.5(b) do Tvrzení VII.8.
Cvičení č. 8 - 21.11.2023
Studentské prezentace - příklady 21, 22, 27, 29, 30 ke Kapitole VI. Doplňující poznámky - normová a slabá topologie splývají právě
v prostorech konečné dimenze, v ℓ1 je 0 ve slabém uzávěru sféry, ale není dosažitelná posloupností, kanonické
vektory v ℓ1(Γ) tvoří uzavřenou diskrétní množinu ve slabé topologii.
Přednáška č. 15 - 24.11.2023
Dokončení oddílu VII.2 - Tvrzení VII.9 (druhá část důkazu části (b) byla jen naznačena, podrobný důkaz je u textů k přednášce).
Začátek oddílu VII.3 (další vlastnosti distribucí) - do Tvrzení VII.12(a,b).
Přednáška č. 16 - 28.11.2023
Dokončení oddílu VII.3 - Tvrzení VII.12(c-e), přičemž z důkazu bodu (e) byl proveden jen první krok, podrobný důkaz je k dispozici u textů
k přednášce. Začátek oddílu VII.4 (konvoluce distribucí) - do Lemmatu VII.13
Cvičení č. 9 - 28.11.2023
Studentská prezentace - příklad 19 ke Kapitole VII. Dále příklady 7 a 15 ke Kapitole VII.
Přednáška č. 17 - 1.12.2023
Pokračování oddílu VII.4 - Tvrzení VII.14 a Věta VII.15(a)-(d). Některé části důkazů byly provedeny stručněji, podrobné verze jsou u textů k přednášce.
Přednáška č. 18 - 5.12.2023
Dokončení oddílu VII.4 - od Věty VII.15(e) do konce oddílu. Přitom možnosti definice konvoluce dvou distribucí byly jen stručně vysvětleny,
bez podrobných důkazů. Stejně tak Tvrzení VII.16 bylo jen stručně okomentováno. Podrobné vysvětlení a důkazy jsou k dispozici u textů k přednášce.
Dále začátek oddílu VII.5 (temperované distribuce) - do Tvrzení VII.17(a).
Cvičení č. 10 - 5.12.2023
Studentské prezentace - příklady 21 a 29 ke kapitole VII. Dále příklady 27, 16, 20, 40 (část) ke kapitole VII.
Přednáška č. 19 - 8.12.2023
Pokračování oddílu VII.5 - od Tvrzení VII.17(b) do Lemmatu VII.21 (zatím jen část). Některé detaily výpočtů byly vynechány, lze je nalézt u textů k přednášce.
Přednáška č. 20 - 12.12.2023
Dokončení oddílu VII.5 - zbytek Lemmatu VII.21 a pak do konce oddílu. Začátek oddílu VII.6 (konvoluce a Fourierova transformace
temperovaných distribucí) - do Věty VII.25(a).
Cvičení č. 11 - 12.12.2023
Studentská prezentace - příklady 38 a 39 ke Kapitole VII. Dále příklady 41, 48, 49, 50, 26(1,4) ke Kapitole VII.
Přednáška č. 21 - 15.12.2023
Dokončení oddílu VII.6 - od Věty VII.25(b) do konce oddílu. Přitom byly vynechány důkazy Lemmatu VII.26(b), Tvrzení VII.27 a Věty VII.28(a,c,e),
které jsou analogické příslušným důkazům z oddílu VII.4 (podrobné důkazy jsou k dispozici u textů k přednášce). Začátek Kapitoly VIII (Základy vektorové integrace) a oddílu VIII.1 (měřitelnost vektorových funkcí) - úvodní definice a poznámky.
Přednáška č. 22 - 19.12.2023
Pokračování oddílu VIII.1 - Větička VIII.1, Lemma VIII.2 a Věta VIII.3, definice silné μ-měřitelnosti a poznámka o tom, že
funkce je silně μ-měřitelná, právě když se rovná skoro všude nějaké silně Σ-měřitelné funkci.
Cvičení č. 12 - 19.12.2023
Studentské prezentace - příklady 22, 44, 46(1,2) ke Kapitole VII. Dále příklady 45 a 46(4) ke Kapitole VII. Připomenutí závěrečné definice a poznámky
z přednášky, vysvětlení, jak pomocí této poznámky plyne Lemma VIII.4 a Věta VIII.5 z Lemmatu VIII.2 a Věty VIII.3. Dále Příklad VIII.6(1,3).
Přednáška č. 23 - 5.1.2024
Začátek oddílu VIII.2 (integrovatelnost vektorových funkcí) - do definice Pettisova integrálu.
Přednáška č. 24 - 9.1.2024
Dokončení oddílu VIII.2 - zopakování definice Dunfordova a Pettisova integrálu, Tvrzení VIII.12 a dále do konce oddílu.
Začátek oddílu VIII.3 (Lebesgue-Bochnerovy prostory) - do Věty VIII.15(a).
Cvičení č. 13 - 9.1.2024
Dokončení oddílu VIII.3 - Věta VIII.15(b), Příklady VIII.16 a poznámky o dualitě. Analýza funkce t↦ψχ(0,t) jakožto funkce
(0,1)→Lp(0,1) (měřitelnost, bochnerovská, slabá a pettisovská integrovatelnost, hodnota integrálu).
Přednáška č. 25 - 12.1.2024
Kapitola IX (Kompaktní konvexní množiny) - od začátku oddílu do Věty IX.3, Tvrzení IX.4 bylo jen krátce okomentováno,
dále Příklad IX.5 a Tvrzení IX.6, stručná informace o Tvrzení IX.7 a Větě IX.8.
