Matematika A
Další studijní materiály
Kompletní testy z předchozích semestrů (zadání, bez řešení).Řešení testů 7.1..
Řešení testů 14.1..
Řešení testů 20.1..
Řešení testů 28.1..
Obsah přenášky podrobněji
30.9. Organizační věci. Motivace ke studiu matematiky. I. První setkání s funkcemi. Reálná čísla, intervaly. Množinové a logické operace, kvantifikátory. Rovnice, nerovnice a grafy jednoduchých funkcí v kartézských souřadnicích: (a) Lineární rovnice a nerovnice, lineární funkce. Význam koeficientů lineární funkce (průsečík s osou y, směrnice přímky, přímka rostoucí/klesající). (b) Kvadratické funkce a rovnice diskriminant, výpočet kořenů, Vietovy vztahy, graf, význam koeficientů (konvexita, konkavita), výpočet a znázornění vrcholu paraboly (odvození souřadnic doplněním na čtverec a z Vietových vztahů).
5.10. Kvadratické nerovnice - řešení pomocí grafu a pomocí tabulky. c) Kubické rovnice a nerovnice (odhadnutí celočíselných kořenů, dělení polynomů), jak asi vypadá graf kubické funkce? d) Rovnice s racionálními lomenými funkcemi (a řešení nerovnic pomocí tabulky). e) Lineární lomená funkce, asymptoty a střed hyperboly, posun grafu funkce 1/x. f) Funkce absolutní hodnota. g) Mocniny, odmocniny, mocniny s racionálním exponentem. h) Exponenciála - základní vlastnosti a vzorce.
7.10. Logaritmus - základní vlastnosti a vzorce. Definiční obory funkcí. II. Posloupnosti a limity. Posloupnosti konečné a nekonečné, posloupnost aritmetická, geometrická. Konečná a nekonečná limita posloupnosti, pojem konvergence/divergence, základní příklady. Limita aritmetické a geometrické posl.
12.10. Věta o limitě součtu, rozdílu, součinu a podílu, rozšířené operace s limitami (tj. i s nekonečnými), příklady na výpočet limit. Výpočet limit posloupností, početní finta č.1 (vytknutí členů s nejvyššími mocninami), též pro neceločíselné mocniny, vytýkání zpod odmocniny. Finta č.2 (vytknutí exponenciál s nejvyššími základy). Finta č.3 (odečtení odmocnin pomocí rozšíření výrazem s opačným znaménkem). Zavedení Eulerova čísla a exponenciály pomocí limit jistých posloupností. Ekonomický význam Eulerova čísla.
14.10. Řady konečné a nekonečné, příklady - zejména geometrická řada. Zavedení Eulerova čísla a exponenciály pomocí jistých nekonečných řad. III. Funkce jedné proměnné. Pojem funkce = funkční předpis + definiční obor. Obor hodnot. Pojem prostá funkce, inverzní funkce a jak vznikne její graf z původní funkce. Graf k-té mocniny a odmocniny, exponenciály a logaritmu s přirozeným a s obecným základem.
19.10. Pojem složená funkce, spojitost funkce. Limita funkce, jednostranné limity, základní příklady s limitami. Výpočet limity funkce: věta o limitě součtu, rozdílu, součinu a podílu, věta o limitě složené funkce. Rozlišení podle polohy bodu x_0 vzhledem k D_f: 1. v bodě v D_f spojité funkce je limita rovna funkční hodnotě, 2. v krajním bodě D_f - 2a. je-li tímto bodem (plus minus) nekonečno, používáme analogické postupy jako u limit posloupností s opatrností ohledně znamének.
21.10. 2b. Je-li daný bod reálný: výpočet limity typu a/0 pomocí tzv. "dělení kladnou a zápornou nulou". Limity exponenciály a logaritmu. Derivace funkce: zavedení a výpočet z definice. Derivace základních funkcí.
26.10. Pravidla pro derivaci součtu, rozdílu, součinu a podílu, a pro derivaci složené funkce, příklady. Význam derivace funkce v bodě jako směrnice příslušné tečny, výpočet rovnice tečny v daném bodě. Význam derivace funkce v bodě jako směrnice příslušné tečny, výpočet rovnice tečny v daném bodě.
2.11. Nekonečná derivace, jednostranné derivace, absolutní hodnota jako příklad funkce, která nemá v 0 derivaci. L'Hospitalovo pravidlo (=Finta č. 4) pro výpočet limity posloupnosti typu 0/0, nekonečno/nekonečno a jeho užití v příkladech (zejména limity kombinací exp a log s mocninami).
4.11. Monotonie funkce (funkce rostoucí, klesající, nerostoucí, neklesající v intervalu). Lokální a globální extrémy, stacionární body. Vztah mezi znaménkem derivace a monotonií funkce. Výjimečné (podezřelé) body = kandidáti na extrém. Zjištění monotonie mezi dvěma výjimečnými body. Příklady na výpočet monotonie a extrémů.
9.11. Funkce sudé a liché. Asymptoty: svislé v bodě, obecné v plus minus nekonečnu, jak poznat vodorovnou asymptotu z limity funkce v nekonečnu, výpočet obecných asymptot v nekonečnu. Konvexita - konkavita, druhá derivace. Přehled dílčích kroků při vyšetření průběhu funkce (Desatero).
11.11. Vyšetření průběhu funkce -- příklady.
16.11. Vyšetření průběhu funkce -- příklady. Souvislost lok. extrémů a druhé derivace funkce.
18.11. IV. Funkce více proměnných. Soustavy lineárních rovnic 2x2. Rovnice přímky, rovnice kružnice, soustavy nelineárních rovnic. Parciální derivace, stacionární bod funkce. Hledání globálních extrémů funkce na kompaktní množině: Pojem kompaktní množiny, vnitřek a okraj množiny, Weierstrassova věta. Obecné schéma řešení optimalizační úlohy (neboli hledání kandidátů na extrém). Kandidáti ve vnitřku množiny = stacionární body funkce.
23.11. Rozlišení metod hledání vázaných extrémů podle typu okraje (pro funkce dvou proměnných): (A) dosazovací metoda - na mnohoúhelníku a na množinách s polynomiálními a některými dalšími vazbami. Speciální případ lineární funkce -- nemá stacionární body.
25.11. Pojem matice, Jacobiho matice, determinant, jacobián. (B) Metoda jacobiánu pro dvě proměnné. (C) Metoda Lagrangeových multiplikátorů pro dvě proměnné, příklady a porovnání těchto metod.
30.11. Metoda Lagrangeových multiplikátorů pro více proměnných a více vazeb.
2.12. Metoda jacobiánu pro tři proměnné a dvě vazby. Příklady na metody jac a LM.