Matematika A
Další studijní materiály
Kompletní testy z předchozích semestrů (zadání, bez řešení).Příprava na závěrečný test z matematiky -- video s Filipem Konopkou.
Příprava na závěrečný test -- videa pro náš předmět s Petrem Vackem pro doučovací projekt Edufix (nutná registrace, částečně placené).
Vzorové řešení ZT1 + ZT2, varianta B (25.5.)
Vzorové řešení ZT1 + ZT2, varianta C (1.6.)
Vzorové řešení ZT1 + ZT2, varianta D (8.6.)
Vzorové řešení ZT1 + ZT2, varianta E (18.6.)
Vzorové řešení ZT1 + ZT2, varianta F (25.6.)
Obsah závěrečných testů
Závěrečný test bude rozdělený na dvě časově oddělené části (ZT1 a ZT2), každá bude trvat 100 minut a bude hodnocena 40 body. Jednotlivé části budou obsahovat:ZT1:
a) limita posloupnosti a funkce,
b) výpočet tečny funkce v bodě,
c) vyšetření průběhu funkce, tedy její definiční obor, sudost/lichost, průsečíky s osami, případně jiné význačné hodnoty, limity v krajních bodech D_f, lokální a globální extrémy, intervaly monotonie, asymptoty, oblasti konvexity/konkavity včetně inflexních bodů, graf funkce,
ZT2:
d) určení extrémů funkce dvou proměnných na kompaktní množině s použitím dosazovací metody, metody Jacobiánu, metody Lagr. mult., včetně nakreslení množiny a kandidátů,
e) určení extrémů funkce tří proměnných na kompaktní množině s použitím metody Jacobiánu, metody Lagr. mult.
Každý den, kdy bude vypsána zkouška, se to bude konat tak, že třeba od 9h bude (v několika místnostech) ZT1 a pak od 11h ZT2 (přesné časy určíme vždy konkrétně podle volných místností), takže kdo budete chtít absolvovat vše
během jednoho dne, můžete, anebo můžete přijít na každou část v jiné dny - ale musíte se na každou část vždy samostatně přihlásit. Můžete je absolvovat v libovolném pořadí, tj. klidně i jeden den ZT2 a další den pak ZT1.
Na (skoro) každý termín budeme mít rezervováno více místností (obvykle vedle sebe). Každý cvičící bude mít na starost jednu místnost na celou dobu, a pokud to bude dobře vycházet, budete každý psát v místnosti se svým
cvičícím. Pokaždé se přihlásíte na termín jakoby do jedné místnosti, a my Vás rozdělíme a napíšeme mailem, do které máte přijít.
Obsah přenášky podrobněji, obsah minitestů
17.2. Organizační věci. Motivace ke studiu matematiky. I. První setkání s funkcemi. Reálná čísla, intervaly. Množinové a logické operace, kvantifikátory. Rovnice, nerovnice a grafy jednoduchých funkcí v kartézských souřadnicích: (a) Lineární rovnice a nerovnice, lineární funkce. Význam koeficientů lineární funkce (průsečík s osou y, směrnice přímky, přímka rostoucí/klesající). (b) Kvadratické funkce a rovnice diskriminant, výpočet kořenů, Vietovy vztahy, graf, význam koeficientů (konvexita, konkavita), výpočet a znázornění vrcholu paraboly (odvození souřadnic doplněním na čtverec a z Vietových vztahů).
24.2. Kvadratické nerovnice - řešení pomocí grafu a pomocí tabulky. c) Kubické rovnice a nerovnice (odhadnutí celočíselných kořenů, dělení polynomů), jak asi vypadá graf kubické funkce? d) Rovnice s racionálními
lomenými funkcemi (a řešení nerovnic pomocí tabulky). e) Lineární lomená funkce, asymptoty a střed hyperboly, posun grafu funkce 1/x.
f) Funkce absolutní hodnota. g) Mocniny, odmocniny, mocniny s racionálním exponentem. h) Exponenciála, logaritmus - základní vlastnosti a vzorce.
Minitest 25.2.: Kvadratická funkce -- výpočet průsečíků s osami, vrcholu, graf.
2.3. Definiční obory funkcí. II. Posloupnosti a limity. Posloupnosti konečné a nekonečné, posloupnost aritmetická, geometrická. Konečná a nekonečná limita posloupnosti, pojem konvergence/divergence,
základní příklady. Limita aritmetické a geometrické posl., věta o limitě součtu, rozdílu, součinu a podílu, rozšířené operace s limitami (tj. i s nekonečnými), příklady na výpočet limit. Výpočet limit posloupností, početní
finta č.1 (vytknutí členů s nejvyššími mocninami), též pro neceločíselné mocniny, vytýkání zpod odmocniny.
Minitest 3.3.: Lineární lomená funkce -- výpočet středu, asymptot, graf.
9.3. Finta č.2 (vytknutí exponenciál s nejvyššími základy). Finta č.3 (odečtení odmocnin pomocí rozšíření výrazem s opačným znaménkem). Zavedení Eulerova čísla a exponenciály pomocí limit jistých posloupností. Ekonomický význam Eulerova čísla. Řady konečné a nekonečné, příklady - zejména geometrická řada. Zavedení Eulerova čísla a exponenciály pomocí jistých nekonečných řad. III. Funkce jedné proměnné. Pojem funkce = funkční předpis + definiční obor.
30.3. DISTANČNÍ VÝUKA: Obor hodnot. Pojem prostá funkce, inverzní funkce a jak vznikne její graf z původní funkce. Graf k-té mocniny a odmocniny, exponenciály a logaritmu s přirozeným a s obecným základem. Pojem složená funkce, spojitost funkce. Limita funkce - definice. Jednostranné limity, základní příklady s limitami. Výpočet limity funkce: věta o limitě součtu, rozdílu, součinu a podílu, věta o limitě složené funkce. Rozlišení podle polohy bodu x_0 vzhledem k D_f: 1. v bodě v D_f spojité funkce je limita rovna funkční hodnotě, 2. v krajním bodě D_f - 2a. je-li tímto bodem (plus minus) nekonečno, používáme analogické postupy jako u limit posloupností s opatrností ohledně znamének. 2b. Je-li daný bod reálný: výpočet limity typu a/0 pomocí tzv. "dělení kladnou a zápornou nulou". Limity exponenciály a logaritmu.
2.4. DISTANČNÍ VÝUKA: Derivace funkce: zavedení. Derivace základních funkcí. Pravidla pro derivaci součtu, rozdílu, součinu a podílu, a pro derivaci složené funkce, příklady. Význam derivace funkce v bodě jako směrnice příslušné tečny, výpočet rovnice tečny v daném bodě. Nekonečná derivace, jednostranné derivace, absolutní hodnota jako příklad funkce, která nemá v 0 derivaci. L'Hospitalovo pravidlo (=Finta č. 4) pro výpočet limity posloupnosti typu 0/0, nekonečno/nekonečno a jeho užití v příkladech (zejména limity kombinací exp a log s mocninami).
6.4. DISTANČNÍ VÝUKA: L'Hospitalovo pravidlo - další příklady. Monotonie funkce (funkce rostoucí, klesající, nerostoucí, neklesající v intervalu). Lokální a globální extrémy, stacionární body. Vztah mezi znaménkem derivace a monotonií funkce. Výjimečné (podezřelé) body = kandidáti na extrém. Zjištění monotonie mezi dvěma výjimečnými body. Příklady na výpočet monotonie a extrémů. Funkce sudé a liché.
20.4. DISTANČNÍ VÝUKA: Asymptoty: svislé v bodě, obecné v plus minus nekonečnu, jak poznat vodorovnou asymptotu z limity funkce v nekonečnu, výpočet obecných asymptot v nekonečnu. Konvexita - konkavita, druhá derivace. Přehled dílčích kroků při vyšetření průběhu funkce (Desatero). Příklady vyšetření průběhu funkce. Souvislost lok. extrémů a druhé derivace funkce.
27.4. DISTANČNÍ VÝUKA: IV. Funkce více proměnných. Soustavy lineárních rovnic 2x2. Rovnice přímky, rovnice kružnice, soustavy nelineárních rovnic. Parciální derivace, stacionární bod funkce. Hledání globálních extrémů funkce na kompaktní množině: Pojem kompaktní množiny, vnitřek a okraj množiny, Weierstrassova věta. Obecné schéma řešení optimalizační úlohy (neboli hledání kandidátů na extrém). Kandidáti ve vnitřku množiny = stacionární body funkce. Rozlišení metod hledání vázaných extrémů podle typu okraje (pro funkce dvou proměnných): (A) dosazovací metoda - na mnohoúhelníku a na množinách s polynomiálními a některými dalšími vazbami. Speciální případ lineární funkce -- nemá stacionární body.
4.5. DISTANČNÍ VÝUKA: Pojem matice, Jacobiho matice, determinant, jacobián. (B) Metoda jacobiánu pro dvě proměnné. (C) Metoda Lagrangeových multiplikátorů pro dvě proměnné, příklady a porovnání těchto metod. Metoda Lagrangeových multiplikátorů pro více proměnných a více vazeb.
11.5. DISTANČNÍ VÝUKA: Determinant matice 3x3. Metoda Jacobiánu pro případ 3 proměnných a 2 vazeb. Další příklady na optimalizační úlohy (metoda jacobiánu, Lagr. multiplikátorů).