Ondřej Kalenda

Komplexní analýza 2

Informace ve Studijním informačním systému

Organizace kurzu

Obsah přednášky, předpokládané znalosti a návaznost
na další předměty

Doporučená literatura

Texty k přednáškám

Informace ke cvičení a zápočtům

Program jednotlivých přednášek a cvičení

Informace ke zkouškám

Obsah jednotlivých přednášek a cvičení

Přednáška č. 1 - 22.2.2019
Úvodní informace - stručný obsah kurzu, návaznost na předchozí kurz, doporučená literatura, Začátek Kapitoly IX (Harmonické funkce dvou proměnných) - oddíl IX.1 (vztah harmonických a holomorfních funkcí) - do Větičky IX.3 včetně.

Cvičení č. 1 - 22.2.2019
Informace o zápočtech, zadání prvních tří referátů. Dále pokračování výkladu oddílu IX.1 až do Věty IX.6 a následujících důsledků. Dále harmonické funkce a jednoznačnost - neplatnost věty o jednoznačnosti pro harmonické funkce; varianta věty o jednoznačnosti - pro nekonstantní harmonickou funkci na oblasti je množina nulových bodů gradientu izolovaná.

Přednáška č. 2 - 1.3.2019
Dokončení oddílu IX.1 - od Věty IX.7 do konce oddílu. Formulace Věty IX.10 z oddílu IX.2.

Cvičení č. 2 - 1.3.2019
Součin harmonických funkcí (speciálně, pokud na oblasti platí, že f i |f|² jsou harmonické, pak je f konstatní; pokud f i f² jsou harmonické, pak f nebo f je holomorfní), Poissonovo jádro jako harmonická funkce a jako Poissonův integrál Diracovy míry; výpočet Poissonova integrálu charakteristické funkce intervalu; reálná a imaginární část funkce (1+z)/(1-z) - reálná část je Poissonovo jádro, není Poissonovým integrálem funkce z L¹(T), ale je Poissonovým integrálem míry (Diracovy); imaginární část není ani Poissonovým integrálem míry.

Přednáška č. 3 - 8.3.2019
Pokračování oddílu IX.2 - Věta IX.10 a její důsledky, Lemma IX.11 a první krok důkazu.

Cvičení č. 3 - 8.3.2019
Referát o konformní ekvivalenci mezikruží; dále reálná a imaginární část funkce (1+z)²/(1-z)² - reálná ani imaginární část není Poissonovým integrálem míry, přitom radiální limita reálné části existuje a není integrovatelná, zatímco radiální limita imaginární části je všude nulová; charakterizace harmonických funkcí pomocí vlastnosti průměru přes kruhy (vůči dvourozměrné Lebesgueově míře).

Přednáška č. 4 - 15.3.2019
Dokončení oddílu IX.2 - důkaz Lemmatu IX.11, Věta IX.12 a její důsledek. Začátek oddílu IX.3 (Hardyho prostory na jednotkovém disku) - do Věty IX.13 (včetně důkazu).

Cvičení č. 4 - 15.3.2019
Referát o typických radiálních limitách omezených holomorfních funkcí (pro reziduální množinu funkcí z H^∞ platí, že radiální limita existuje jen pro směry z množiny první kategorie); dále rozšiřování konformních zobrazení na uzávěr - pro zobrazení z poloroviny nebo úhlu na kruh to je možné, pro zobrazení z pásu na kruh nikoli.

Přednáška č. 5 - 22.3.2019
Pokračování oddílu IX.3 od Věty IX.14 do Lemmatu IX.16 (včetně větší části důkazu).

Cvičení č. 5 - 22.3.2019
Dokončení důkazu Lemmatu IX.16. Dále příklady - funkce (1+z)/(1-z) nepatří do H¹, ale patří do H^p pro p∈(0,1); její modifikací najdeme pro každé s∈(0,∞) funkce patřící do H^p pro p∈(0,s), ale ne do H^s; funkce log((1-z)/3) patří do H^p pro p∈(0,∞), ale ne do H^∞.

Přednáška č. 6 - 29.3.2019
Pokračování oddílu IX.3 od Lemmatu IX.17 do Důsledku Věty IX.19.

Cvičení č. 6 - 29.3.2019
Referát - harmonicky konjugované funkce; dále příklady svědčící o tom, že pro p=1 a p=∞ analogické tvrzení neplatí - pro p=1 je protipříkladem Poissonovo jádro, pro p=∞ je protipříkladem funkce Im log((1-z)/3).

Přednáška č. 7 - 5.4.2019
Dokončení oddílu IX.3 (Věta IX.20 a její důsledek). Začátek kapitoly X (Analytické pokračování), oddíl X.1 (Analytické elementy a jejich pokračování) - do Věty X.1 včetně.

Cvičení č. 7 - 5.4.2019
Důkaz Věty X.1. Dále poznámky k Hardyho prostorům a k rozdílům mezi harmonickými a holomorfními funkcemi. Definice analytické funkce a příklady - funkce Log a M_α (případ, kdy α je celé číslo, a kdy α=1/n).

Přednáška č. 8 - 12.4.2019
Dokončení oddílu X.1 (od Věty X.2 do konce oddílu). Dále oddíl X.2 (Neomezeně pokračovatelné funkce).

Cvičení č. 8 - 12.4.2019
Funkce Log je neomezeně pokračovatelná; funkce M_α též; analytická funkce generovaná elementem ((z-1)log(z),U(1,1)) je přesně nekonečněznačná, ale v bodě 1 má jen jednu hodnotu; analytická funkce generovaná elementem (m_1/2(1-m_1/2(z)),U(1,1)) je čtyřznačná, ale ne přesně, není neomezeně pokračovatelná.

Přednáška č. 9 - 26.4.2019
Oddíl X.3 (Něco málo o Riemannových plochách), včetně příkladů čtyř různých struktur Riemannovy plochy na komplexní rovině.

Cvičení č. 9 - 26.4.2019
Referát - modulární grupa a konstrukce modulární funkce.

Přednáška č. 10 - 3.5.2019
Začátek kapitoly XI (Úvod do holomorfních funkcí více proměnných), oddíl XI.1 (Mocninné řady více komplexních proměnných) - do Věty XI.4 včetně prvního kroku důkazu.

Cvičení č. 10 - 3.5.2019
Dokončení referátu - důkaz malé Picardovy věty. Dále operace s analytickými funkcemi - součet a součin nejsou jednoznačně určeny; inverzní funkce je jednoznačně určena, funkce arcsin a arctg, derivace a primitivní funkce (Log je primitivní funkce k 1/z, arcsin je primitivní k dvouznačné funkci generované elementem (m_-1/2(1-z²),U(0,1)); inverzní funkce k z.exp(z) je nekonečněznačná funkce s domainem C, není neomezeně pokračovatelná.

Přednáška č. 11 - 10.5.2019
Dokončení oddílu XI.1 - důkaz Věty XI.4 a Věta XI.5. Začátek oddílu XI.2 (Holomorfní funkce více proměnných) - do Lemmatu XI.6 včetně.

Cvičení č. 11 - 10.5.2019
Dokončení důkazu Lemmatu XI.6. Dále skládání analytických funkcí (jednoznačně určené, je-li vnější funkce jednoznačná), příklady Riemannových ploch - struktrury na mezikruží, válcová plocha, torus. Příklady Reinhardtových a úplných Reinhardtových množin, zkoumání logaritmické konvexity. Analýza mocninných řad Σ k!.x^ky a Σ x^ky.

Přednáška č. 12 - 17.5.2019
Dokončení oddílu XI.2 - Lemma XI.7 a Věta XI.8 včetně důkazů, Věty XI.9 a XI.10 krátce okomentovány. Začátek oddílu XI.3 (Hartogsova rozšiřovací věta) - Větička XI.11.

Cvičení č. 12 - 17.5.2019
Referát - konvexita vzhledem k nějaké třídě funkcí, polynomiální konvexita.

Přednáška č. 13 - 24.5.2019
Pokračování oddílu XI.3 - Lemma XI.12, Věta XI.13, definice oblasti holomorfie, Věta XI.14 včetně části důkazu.

Cvičení č. 13 - 24.5.2019
Dokončení důkazu věty XI.14, krátký komentář k oddílu XI.4. Oblasti konvergence mocninných řad - Σ_k,l≥0 x^ky^l, Σ_k,l≥1 x^ky^l, Σ_k,l≥0 k!x^ky^l, Σ_k≥0 x^ky^k, Σ_k,l≥1 (k/l!)x^ky^l, Σ_k,l≥0 (k+l)!/(k!l!)x^ky^l. Dvě mocninné řady, jejichž oblast konvergence je euklidovská koule.