Algebraické křivky (NMAG302) - informace k přednášce v letním semestru 2018/2019.

Aktualita: Jsou k dispozici celkové výsledky domácích úkolů a byl vypsán nový termín zkoušky ve čtvrtek 30. května.

Aktualita: Bylo přidáno několik odkazů k Bézoutově větě a jejím aplikacím.

Základní informace

Sylabus a základní informace vizte popis předmětu ve Studijním informačním systému.

Rozvrh (k nalezení též v SISu):

  • přednáška v úterý 12:20-13:50 hod. v místnosti K1,
  • cvičení v úterý 9:00-10:30 hod. v místnosti K6 (cvičí J. Kopřiva).

Přednáška používá některá fakta z komutativní algebry, které byly pokryty v přednášce Komutativní okruhy (NMAG301). Látka by měla být srozumitelná i bez absolvování této přednášky s tím, že některé výsledky odtud budou jenom použity bez důkazu nebo podrobnější diskuze.

Zkouška

Zkouška je ústní a vypsané termíny jsou:

  1. čtvrtek 16. května od 10:40 hod. v seminární místnosti Katedry algebry (odkaz do SISu),
  2. pondělí 27. května od 10:00 hod. v seminární místnosti Katedry algebry (odkaz do SISu),
  3. čtvrtek 30. května od 10:00 hod. v seminární místnosti Katedry algebry (odkaz do SISu),
  4. pátek 7. června od 10:00 hod. v seminární místnosti Katedry algebry (odkaz do SISu).

Zápočet

Zápočet bude udělován za odevzdané vyřešené příklady. Půjde o tři sady příkladů, které budou včetně termínů odevzdání vypisovány níže. Požaduji alespoň 50 % bodů z vyřešených příkladů ze všech sérií dohromady.

K dispozici jsou výsledky všech domácích úkolů.


Sada příkladů č. 1, termín odevzdání 2. dubna:
Vyřešte cvičení 1.33, 1.35, 1.36 (strany 11-12) a 2.12 (strana 19) z Fultonovy knihy.
Jsou k dispozici výsledky série.
Sada příkladů č. 2, termín odevzdání 23. dubna:
  1. Uvažujte komplexní rovinnou křivku X danou rovnicí (x2+y2)2+3x2y-y3 = 0 (jde o křivku E na str. 32 ve Fultonově knize, jak se na takovou rovnici přijde je pro zvídavé ve cvičení 3.7 v knize, které ale není součástí úkolu). Určete nuly a póly racionální funkce f := x/y ∈ C(X) a odpověď zdůvodněte.
  2. Buď X jako výše a Y komplexní rovinná křivka daná rovnicí s(1+t2)-1 = 0. Ukažte, že Y je nesingulární křivka a zobrazení f: Y → X dané předpisem f(s,t) = ( s2t(1-3t2), s2(1-3t2) ) je na a každý bod X kromě počátku souřadnic má jednoznačný vzor. Ukažte, že P ∈ Y má reálné souřadnice, právě když f(P) má reálné souřadnice. Nakonec ukažte, že reálné body křivky X jsou dané parametricky předpisem ( t(1-3t2)/(1+t2)2, (1-3t2)/(1+t2)2 ), kde t běží přes všechna reálná čísla (můžete si i zkusit tuto parametrizaci racionálními funkcemi vykreslit na počítači).
  3. Cvičení 3.8 (a), (b) z Fultonovy knihy (strana 34).
  4. Najděte všechny singulární body komplexní rovinné křivky dané rovnicí (x2-1)(x-1)2 + (y2-1)2 = 0. Určete v těchto bodech všechny tečny a jejich násobnosti.
Jsou k dispozici výsledky série.
Sada příkladů č. 3, termín odevzdání 14. května:
Vyřešte cvičení 3.17 (str. 40) z Fultonovy knihy pro dvojici křivek D a F a pro dvojici křivek C a E se str. 32. Vyřešte cvičení 4.19, 4.20, 4.25 (strany 49-50) z Fultonovy knihy. Všude můžete uvažovat, že pracujete nad tělesem komplexních čísel.
Jsou k dispozici výsledky série.

Co bylo probráno

Zde je uveden orientační seznam probrané látky po jednotlivých přednáškách, včetně odkazů do literatury.

19. 2. 2019
Motivace: eliptické křivky a Bézoutova věta. Afinní prostory a afinní algebraické množiny, ideál množiny bodů, Galoisova korespondence mezi V a I ([Ful], kap. 1.1 - 1.4).
26. 2. 2019
Ireducibilní rozklad algebraické množiny a jeho jednoznačnost, kritérium ireducibility algebraické množiny přes její ideál, na cvičení radikálové ideály ([Ful], kap. 1.3 a 1.5).
5. 3. 2019
Souřadnicové okruhy, korespondence mezi polynomiálními zobrazení a homomorfismy souřadnicových okruhů, isomorfismus algebraických množin, na cvičení algebraické podmnožiny afinní roviny ([Ful], kap. 1.6, 2.1, 2.2).
12. 3. 2019
Hilbertova věty o nulách a její důsledky ([Ful], kap. 1.7 s tím, že na přednášce z Komutativních okruhů byly probrány kap. 1.8 - 1.10).
19. 3. 2019
Racionální funkce na varietách, lokální okruhy, na cvičení změny souřadnic ([Ful], kap. 2.3, 2.4).
26. 3. 2019
Lokální okruhy bodů variety jsou lokální noetherovské obory integrity, komaximální ideály a jejich geometrická charakterizace, Čínská zbytková věta, vztah k interpolaci polynomů ([Ful], kap. 2.4, 2.8).
2. 4. 2019
Věta o ideálech s konečně mnoha nulami a lokálních okruzích, vztah s interpolací polynomů ve více neurčitých ([Ful], kap. 2.9).
9. 4. 2019
Dokončení věty o ideálech s konečně mnoha nulami, afinní rovinné křivky, singulární a nesingulární body, tečny v bodech ([Ful], kap. 2.9, 3.1).
16. 4. 2019
Křížící čísla (intersection numbers) a jejich vlastnosti ([Ful], kap. 3.3 s tím, že se používají základní fakta o dimenzích vektorových prostorů z kap. 2.10).
23. 4. 2019
Dokončení křížících čísel a hlavně jejich vztahu k násobnosti bodu křížení na jednotlivých křivkách ([Ful], kap. 3.3).
30. 4. 2019
Projektivní prostory a projektivní algebraické množiny, homogenní ideály (na cvičení), projektivní věta o nulách ([Ful], kap. 4.1, 4.2).
7. 5. 2019
Projektivní variety, vztah mezi afinními a projektivními varietami (na cvičení), projektivní rovinné křivky a jejich křížící čísla, Bézoutova věta a náznaky aplikací. ([Ful], kap. 4.3, 5.1, 5.3, k aplikacím je možné si též přečíst blog T. Taa, prohlédnout si prezentaci o Pascalově větě a Pascalovu větu si vyzkoušet na stránce Geogebra).

Literatura

Jádro přednášky je prezentováno podle následující knihy volně dostupné on-line v PDF:

[Ful] W. Fulton, Algebraic Curves (An Introduction to Algebraic Geometry), 2008. [PDF ke stažení]

Část přednášky o rovinných křivkách jsem sepsal v následujícím textu v češtině.

[Šť] J. Šťovíček, Rovinné křivky. [PDF ke stažení]

Přednášky jsou občas doplněny o některá fakta a příklady, které jsou k nalezení v následujících (off-line) zdrojích:

[AM] M. F. Atiyah, I. G. MacDonald, Introduction to Commutative Algebra, Addison-Wesley Publishing Co., 1969.
[CLO] D. Cox, J. Little, D. O'Shea, Ideals, varieties, and algorithms, 2. vyd., Springer, New York, 2005.
[Ki] F. Kirwan, Complex algebraic curves, LMS Student Texts 23, Cambridge, 1992.
[Sh] I. R. Shafarevich, Basic algebraic geometry 1, Varieties in projective space, 2. vyd., Springer-Verlag, Berlin, 1994.

V češtině lze leccos nalézt i v provizorních skriptech od prof. Drápala:

[Dr1] A. Drápal, Komutativní okruhy. [PDF ke stažení]
[Dr2] A. Drápal, Algebraická geometrie - geometrická čast. [PDF ke stažení]
[Dr3] A. Drápal, Algebraická geometrie - algebraická čast. [PDF ke stažení]

Zde je pro inspiraci několik odkazů k Bézoutově větě a jejím aplikacím:

Celkově lze říci, že algebraická geometrie je velmi široký obor, o kterém jsou napsány tisíce stránek z různých pohledů a k různým účelům. Určitou představu (příp. doporučení, kudy dále pro zájemce) si lze udělat na tomto blogu na mathoverflow.net.

Další odkazy