Algebraické křivky (NMAG302) - informace k přednášce v letním semestru 2014/2015.

Upozornění: Tato stránka se týkala přednášky v letním semestru 2014/2015. Odkaz na aktuální přednášku hledejte na domovské stránce.

Základní informace

Sylabus a základní informace viz popis předmětu ve Studijním informačním systému.

Rozvrh (k nalezení též v SISu):

  • přednáška v pondělí 10:40-12:10 hod. v místnosti K6,
  • cvičení v pondělí 12:20-13:50 hod. v místnosti K6.

Zkouška

Zkouška je ústní a vypsané termíny jsou:

  1. pondělí 18. května od 10:40 hod. v učebně K6 (stejné místo a čas jako přednáška, odkaz do SISu),
  2. čtvrtek 28. května od 10:00 hod. v seminární místnosti Katedry algebry (odkaz do SISu),
  3. pondělí 8. června od 10:00 hod. v seminární místnosti Katedry algebry (odkaz do SISu),
  4. pátek 12. června od 10:30 hod. v učebně K3 (odkaz do SISu).

Zápočet

Zápočet bude udělován za odevzdané vyřešené příklady. Půjde o tři sady příkladů, které budou vypisovány níže. Požaduji alespoň 50 % vyřešených příkladů v uvedených termínech.

Co bylo probráno

Zde je uveden orientační seznam probrané látky po jednotlivých přednáškách, včetně odkazů do literatury.

16. 2. 2015
Afinní prostory a afinní algebraické množiny, ideál množiny bodů ([Ful], kap. 1.2, 1.3, 1.4).
23. 2. 2015
Radikálové ideály, ireducibilní rozklad algebraické množiny a jeho jednoznačnost, kritérium ireducibility algebraické množiny přes její ideál, polynomiální zobrazení ([Ful], kap. 1.3, 1.5, 2.2).
2. 3. 2015
Souřadnicové okruhy, kritérium ireducibility přes souřadnicový okruh, korespondence mezi polynomiálními zobrazení a homomorfismy souřadnicových okruhů, na cvičení popis algebraických podmnožin affinní roviny ([Ful], kap. 1.6, 2.1, 2.2).
9. 3. 2015
Komutativní algebra potřebná k důkazu Hilbertových vět o nulách (konkrétně příprava na důkaz, že K[x1, x2, ..., xn]/M je pro maximální ideál M konečné rozšíření tělesa K) ([Ful], kap. 1.10, [Dr1], kap. II.7).
16. 3. 2015
Faktor okruhu polynomů podle maximálního ideálu, slabá věta o nulách, Hilbertova věta o nulách ([Dr1], kap. II.7, [Ful], kap. 1.7).
23. 3. 2015
Překlad tvrzení 1 až 13 pro novou definici algebraické množiny, variety, ideálu daného nulami a polynomiálního zobrazení.
30. 3. 2015
Důsledky vět o nulách, akce Galoisovy grupy na algebraických množinách. Projektivní prostory jako rozšíření afinních prostorů, homogenní polynomy ([Ful], kap. 1.7, 4.1, 4.2).
13. 4. 2015
Projektivní algebraické množiny a homogenní ideály. Základní vlastnosti přiřazení Vproj a Iproj ([Ful], kap. 4.2).
20. 4. 2015
Popis projektivních variet, projektivní věta o nulách ([Ful], kap. 4.2).
27. 4. 2015
Vztah afinních a projektivních algebraických množin a variet - zúžení projektivní algebraické množiny na afinní, projektivní uzávěr afinní algebraické množiny, základní vlastnosti těchto ([Ful], kap. 4.3).
4. 5. 2015
Projektivní rovinné přivky a jejich stupeň, Bézoutova věta (formulace), základní vlastnosti rezultantů ([Ful], kap. 5.3, [CLO], kap. 3.5, 3.6, 8.7).
11. 5. 2015
Důkaz Bézoutovy věty pomocí rezultantů ([Ful], kap. 5.3, [CLO], kap. 8.7).

Literatura

Jádro přednášky je prezentováno podle následující knihy volně dostupné on-line v PDF:

[Ful] W. Fulton, Algebraic Curves (An Introduction to Algebraic Geometry), 2008. [PDF ke stažení]

Přednášené výsledky jsou doplněny o některá fakta a příklady, které jsou k nalezení v následujících (off-line) zdrojích:

[AM] M. F. Atiyah, I. G. MacDonald, Introduction to Commutative Algebra, Addison-Wesley Publishing Co., 1969.
[CLO] D. Cox, J. Little, D. O'Shea, Ideals, varieties, and algorithms, 2. vyd., Springer, New York, 2005.
[Ki] F. Kirwan, Complex algebraic curves, LMS Student Texts 23, Cambridge, 1992.
[Sh] I. R. Shafarevich, Basic algebraic geometry 1, Varieties in projective space, 2. vyd., Springer-Verlag, Berlin, 1994.

V češtině lze leccos nalézt i v provizorních skriptech od prof. Drápala:

[Dr1] A. Drápal, Komutativní okruhy. [PDF ke stažení]
[Dr2] A. Drápal, Algebraická geometrie - geometrická čast. [PDF ke stažení]
[Dr3] A. Drápal, Algebraická geometrie - algebraická čast. [PDF ke stažení]

Celkově lze říci, že algebraická geometrie je velmi široký obor, o kterém jsou napsány tisíce stránek z různých pohledů a k různým účelům. Určitou představu (příp. doporučení, kudy dále pro zájemce) si lze udělat na tomto blogu na mathoverflow.net.