• View
• Edit
• History
• Print

VarInvLS1415

Variace na invarianci, LS 14/15

Každou středu od 17:20 v K6.

Pojem invariance, tedy hledání vlastností, které se zachovávají při určitých transformacích daného matematického objektu, je v matematice všudypřítomný. Rádi bychom na tomto semináři, určeném především studentům prvního a druhého ročníku, nabídli pohled na matematiku právě z tohoto úhlu. Seminář bude sestávat z několika minisérií, jejichž témata doplňují a rozšiřují látku základních přednášek. Vítáni jsou všichni zájemci o moderní geometrii a algebru.

Tomáš Salač, Dalibor Šmíd a Lukáš Krump, garanti semináře

Tabulka domácích úkolů

Program

18.2., 11.3., 25.3.: Dalibor Šmíd: Moebiova grupa

Moebiova grupa je tvořena všemi lineárně lomenými zobrazeními rozšířené komplexní roviny. Odvodíme základní algebraické a geometrické vlastnosti Moebiovských transformací a ukážeme si, jak tyto transformace souvisí s hyperbolickou geometrií a speciální teorií relativity, a jak je pomocí nich možné generovat pěkné fraktály.

Osnova přednášky a domácí úkoly

25.2., 4.3., 18.3., 1.4.: Lukáš Krump: Kleinův Erlangenský program

Nejprve si prozradíme, že euklidovská geometrie (v rovině) není jediná možná geometrie - odebereme-li z ní některé pojmy a požadavky, dostaneme afinní geometrii a dalším odebráním projektivní geometrii. Seznámíme se s myšlenkou, kterou formuloval v roce 1872 Felix Klein, a sice že každá taková geometrie je plně charakterizována grupou svých symetrií, a tedy i pomocí invariantů této grupy. A z projektivní geometrie si volbou jiných grup odvodíme některé typy neeuklidovských geometrií: eliptickou čili sférickou a hyperbolickou čili Lobačevského.

Přehled přednášky a úkoly

8.4., 15.4., 22.4.: Tomáš Salač: Galoisova korespondence a řešitelnost polynomů

Kořeny kvadratického polynomu ⚠ {$ax^2+bx+c=0$} jsou rovny ⚠ {$x_{1,2}=(­b+­\sqrt D)/2a$}, kde ⚠ {$D$} je diskriminant. Podobný vzorec pak existuje i pro polynomy třetího stupně (Cardanovy vzorce) a dokonce pro polynomy čtvrtého stupně. Ukážeme si, že existují polynomu řádu pět a výše, pro které už podobnou formulku nenajdeme (říkáme, že takový polynom není řešitelný v radikálech). Rozmyslíme si totiž, že pokud je polynom řešitelný v radikálech, pak je jeho Galoisova grupa řešitelná. Přednáška se bude částečně překrývat s přednáškou Algebra II, nicméně u posluchačů budu předpokládat znalosti jen z prvního semestru lineární algebry.

29.4.., 6.5., 20.5.: Martin Doubek: Teorie uzlů a statistická fyzika

Jde danou zauzlovanou smyčku rozuzlovat? Na první pohled není vůbec jasné, jak takový problém matematicky podchytit. Vysvětlíme si metodu, která k danému uzlu a každému jeho "přemotání" přiřadí stejný objekt, tzv. Jonesův polynom. Pokud tedy dva uzly mají různý Jonesův polynom, nelze je na sebe přemotat. K záporné odpovědi na původní otázku pak stačí ověřit, že daný uzel má jiný Jonesův polynom než nezauzlovaná smyčka. Konstrukce Jonesova polynomu, jakkoliv je jednoduchá, je velmi těžko uhodnutelná a byla objevena až v 80. letech 20. století. Ukážeme si, jak Jonesův polynom vzešel ze studia tzv. spin modelů, které se ve fyzice používají např. k modelování feromagnetismu nebo fázových přechodů.

[[ http://www.karlin.mff.cuni.cz/~mdoubek/VnI14-15LS.pdf| Domaci ukoly]]

Zápočet

Odevzdejte vyřešené domácí úlohy za alespoň 5 bodů od každého z alespoň 3 různých přednášejících. Můžete je poslat mailem nebo předat některému přednášejícímu. Termín odevzdání je do 2 týdnů od konce příslušné série.