• View
• Edit
• History
• Print

LieGrp

Úvod do teorie Lieových grup, LS 11/12

Cvičení každé úterý od 14:00 do 15:30, přednáška od 15:40 do 17:10, obojí v posluchárně T1,

Materiál k přednášce - verze z loňska, nekompletní

Cvičení k přednášce - verze z loňska, obsahuje příklady hlavně na hrubou klasifikaci Lieových algeber

Domácí úkoly

18.3. Vypsal jsem termíny zkoušek pro svou přednášku z lineární algebry pro prváky a Lieovy grupy jsem tam připsal taky. Preferuju, pokud přijdete na zkoušku v těchto termínech, ale individuální dohoda je také možná. Termíny jsou níže nebo v sisu.

1.3. Dohodli jsme přesun přednášky do Troji, nakonec jsem vybral posluchárnu T1 kvůli lepší tabuli.

Cvičení:

1. Dokažte, že pro V vektorový prostor konečné dimenze je Aut V Lieova grupa : Michal Szabados
2. Dokažte, že ⚠ {$U(n)= O(2n) \cap Sp(2n,C)$} a ⚠ {$Sp(n) = U(2n) \cap Sp(2n,C)$} (návod Fulton-Harris, strana 98-99) : Jiří Lechner
3. Popište Lieovy algebry maticových Lieových grup ⚠ {$O(n),SO(n),U(n),SU(n),Sp(2n,C),Sp(n)$} : Michal Hrbek
4. Dokažte, že SL(n,C), GL(n,C), U(n), SU(n) jsou souvislé a GL(n,R) není (Hall 12-14) : Michal Garlík
5. Dokažte, že SO(3) není jednoduše souvislá (Hall 16-17) : Michaela Kukučková

22.2. Cvičení

1. Ověření, že SU(2) je Lieova grupa
2. Derivace reprezentace
3. Pojem "jednoduché souvislosti" (Hall 331-333)
4. Vlastnosti exponenciály matice (Hall, str. 27 - 37 nebo asi i Rossmann nebo Motl, Zahradník: Pěstujeme lineární algebru)
5. Jacobiho identita na su(2)
6. Klasifikace komplexních ireducibilních konečně dimenzionálních reprezentací sl(2,C) (Hall 101-106, Souček 10-12): Marek Trunkát

Každé zkuste naplánovat tak na 15 minut (jen ta Jacobiho identita bude určitě kratší).

Předběžný plán:

0) Lieova grupa SU(2) a její Lieova algebra (základní příklad Lieovy grupy, struktura ireducibilních reprezentací) - má sloužit jako jakási předběžná cestovní mapa celé přednášky.

1) Lieovy grupy a Lieovy algebry (jejich vztah, jednoparametrická podgrupa, exponenciála, zobrazení Conj, Ad, ad, Campbell-Hausdorffova formule, věta o jednoznačném přiřazení LG a LA, příklady) - zdrojem může být Fulton-Harris nebo Součkovy poznámky.

2) Hrubá klasifikace Lieových algeber (definice, řešitelnost, nilpotence, Engelova, Lieova a Adova věta, Jordanův rozklad, Killingova forma, Casimirův operátor, Cartanovo kritérium polojednoduchosti, úplná reducibilita reprezentací, příklady). Zdrojem je Fulton-Harris, eventuelně Humphreys.

3) Struktura komplexních polojednoduchých Lieových algeber (sl(2,C), sl(3,C), Cartanova podalgebra, kořeny, pozitivní a jednoduché kořeny, Weylova grupa, kořenová a váhová mříž, fundamentální váhy, struktura klasických Lieových algeber sl, so, sp) - zdroj Fulton-Harris

4) Reprezentace, zejména polojednoduchých LA - vztah reprezentace LG a její LA, tenzorový součin reprezentací, duální reprezentace, ireducibilita, váhy, váhová mříž a diagram, invariance váhového diagramu vůči Weylově grupě, konstrukce váhového diagramu, dominantní váhy a ireducibilní konečnědimenzionální reprezentace s nejvyšší vahou, rozklad na ireducibilní reprezentace pomocí váhového diagramu v jednodušších případech - zdroj opět Fulton-Harris

5) Klasifikace polojednoduchých LA - Cartanova matice, Dynkinovy diagramy, hrubá idea klasifikace - zdroj Součkovy poznámky, Fulton-Harris, Humphreys.

6) Cliffordovy algebry - definice a konstrukce, dimenze, spinorová reprezentace, spinová grupa - zdroj Fulton-Harris, Souček.

Literatura:

• zápisky z přednášek prof. Součka.
• Fulton, Harris: Representation Theory: A First Course
• Humphreys: Introduction to Lie Algebras and Representation Theory
• Hall: Lie Groups, Lie Algebras and Representations: An Elementary Introduction
• Rossman: Lie Groups: An Introduction Through Linear Groups
• Slovák: Reprezentace polojednoduchých Lieových algeber

Termíny zkoušek: