Vítám vás na stránkách Matematiky A. Důkladně si je pročtěte - najdete v nich mnoho užitečných informací a
odpovědi na většinu možných otázek.
Přednáška 55F100 Matematika A je čtyřhodinová. Koná se v pondělí 14:30-16:00 v RB101 a ve středu 18:00-19:30 v Likešově aule.
| Datum. Stručný obsah | Domácí úkoly | Slajdy z přednášky |
| 19.9. I. Přehled požadovaných vstupních znalostí. A. Reálná čísla, intervaly. Množinové a logické operace, kvantifikátory. Aritmetické operace s reálnými čísly a s abstraktními výrazy: zlomky, mocniny. | 1 | 19.9. |
| 21.9. Odmocniny, úpravy algebraických výrazů, absolutní hodnota. Exponenciála a logaritmus. B. Rovnice a nerovnice: lineární, s absolutní hodnotou. | 2 | 21.9. |
|
26.9.Rovnice kvadratické (diskriminant, výpočet kořenů, Vietovy vztahy). Graf kvadratické funkce, význam koeficientů (konvexita, konkavita), výpočet a znázornění vrcholu paraboly.
Kubické rovnice a nerovnice (odhadnutí celočíselných kořenů, dělení polynomů). Nalezení znaménka funkce v intervalech pomocí tabulky.
Minitest 27.9.: Rovnice a nerovnice s absolutní hodnotou. |
3 | 26.9. |
| 28.9. Státní svátek. | - | - |
|
3.10.
Rovnice s racionálními lomenými funkcemi (řešení nerovnic pomocí tabulky). Soustavy lineárních i nelineárních rovnic 2x2. Rovnice s exponenciálou a logaritmem. C. Graf funkce: kartézské
souřadnice, grafy funkcí: konstanta, lineární funkce, význam koeficientů lineární funkce (průsečík s osou y, směrnice přímky, přímka rostoucí/klesající). Analytické vyjádření přímky v
rovině při zadání dvěma body. Minitest 4.10.: Kvadratická funkce -- výpočet průsečíků s osami, vrcholu, graf. |
4 | 3.10. |
| 5.10. Graf absolutní hodnoty. Graf lineární lomené funkce, asymptoty a střed hyperboly, posun grafu 1/x. II. Posloupnosti a limity. Posloupnosti konečné a nekonečné, posloupnost aritmetická, geometrická. Limita posloupnosti konečná, pojem konvergence/divergence, základní příklady. | 5 (odstraněny duplicity, opraveno řešení př. 19) | 5.10. |
|
10.10.
Nekonečná limita. Limita aritmetické a geometrické posl., věta o limitě součtu, rozdílu, součinu a podílu, rozšířené operace s limitami (tj. i s nekonečnými), příklady na výpočet limit, početní finta č.1 (vytknutí členů s
nejvyššími mocninami).
Minitest 11.10.: Určení definičního oboru funkce, jejích průsečíků s osami a kde je kladná/záporná (kombinace odmocnin a rac. lom. funkcí). |
6 (odstraněny duplicity) | 10.10. |
| 12.10. Další příklady na limity: finta č.2 (vytknutí exponenciál s nejvyššími základy), finta č.3 (odečtení odmocnin pomocí rozšíření výrazem s opačným znaménkem). Zavedení Eulerova čísla a exponenciály pomocí limit jistých posloupností. Ekonomický význam Eulerova čísla. Řady konečné a nekonečné, příklady - zejména geometrická řada. Zavedení Eulerova čísla a exponenciály pomocí jistých nekonečných řad. III. Funkce jedné proměnné. Pojem funkce = funkční předpis + definiční obor. Obor hodnot. | - | 12.10. |
|
17.10.
Zoo základních funkcí. Pojem prostá funkce, inverzní funkce a jak vznikne její graf z původní funkce. Mocniny a odmocniny, exponenciály a logaritmy (přirozené a s obecným základem). Pojem složená funkce, hledání jejího
definičního oboru. Spojitost funkce.
Minitest 18.10.: Limity posloupností. |
7 | 17.10. |
| 19.10. Limita funkce - definice. Jednostranné limity, základní příklady s limitami. Výpočet limity funkce: věta o limitě součtu, rozdílu, součinu a podílu, věta o limitě složené funkce. Rozlišení podle polohy bodu x_0 vzhledem k D_f: A. v bodě v D_f spojité funkce je limita rovna funkční hodnotě, B. v krajním bodě D_f - je-li tímto bodem (plus minus) nekonečno, používáme analogické postupy jako u limit posloupností s opatrností ohledně znamének. Výpočet limity typu a/0 pomocí tzv. dělení "kladnou a zápornou nulou". | 8 | 19.10. |
|
24.10.
Limity exponenciály a logaritmu a jejich kombinací s mocninami. Derivace funkce: zavedení, derivace základních funkcí. Pravidla pro derivaci součtu, rozdílu,
součinu a podílu, a pro derivaci složené funkce.
Minitest 25.10.: Limity posloupností ještě jednou. |
9 | 24.10. |
| 26.10. Derivace funkce - příklady. | 10 | 26.10. |
|
31.10.
L'Hospitalovo pravidlo pro výpočet limity posloupnosti typu 0/0, nekonečno/nekonečno a jeho užití v příkladech. Význam derivace funkce v bodě jako směrnice příslušné tečny, výpočet rovnice tečny v daném bodě.
Minitest 31.10.: Limity funkcí v krajních bodech definičního oboru. |
11 | 31.10. |
| 2.11. Nekonečná derivace, jednostranné derivace, absolutní hodnota jako příklad funkce, která nemá v 0 derivaci. Monotonie funkce (funkce rostoucí, klesající, nerostoucí, neklesající v intervalu). Lokální a globální extrémy, stacionární body. Vztah mezi znaménkem derivace a monotonií funkce. Výjimečné (podezřelé) body = kandidáti na extrém, zjištění monotonie mezi dvěma výjimečnými body. | 12 | 2.11. |
|
7.11.
Funkce sudé a liché. Asymptoty (svislé v bodě, obecné v plus minus nekonečnu) a jejich výpočet, druhá derivace, konvexita - konkavita. Minitest 8.11.: Derivace funkcí. |
13 | 7.11 |
| 9.11. Nekoná se. | - | - |
|
14.11. Přehled dílčích kroků při vyšetření průběhu funkce. Příklady vyšetření průběhu funkce. Minitest 15.11.: Úlohy s tečnami. |
14 = stránky Michala Zamboje s řešenými příklady z minulých závěrečných testů. | 14.11. |
| 16.11. Příklady vyšetření průběhu funkce. Souvislost lok. extrémů a druhé derivace funkce. |
15 Vážné varování |
16.11. |
|
21.11. IV. Funkce více proměnných. Parciální derivace, druhé parciální derivace a jejich záměnnost, stacionární bod funkce. Pojem matice, Jacobiho matice. Hledání globálních
extrémů funkce na kompaktní množině: Pojem kompaktní množiny, Weierstrassova věta, obecné schéma hledání kandidátů na extrém. Rozlišení metod podle typu okraje (pro funkce dvou
proměnných): (A) dosazovací metoda - úvod. Minitest 22.11.: Určení intervalů monotonie zadané funkce. |
16 | 21.11. |
|
23.11. Průběžný test - 1. termín. Obsah průběžného testu |
- | - |
|
28.11. Průběžný test - 2. termín. Minitest 29.11.: Výpočet asymptot funkce. |
- | - |
| 30.11. Dosazovací metoda - na mnohoúhelníku a na množinách s polynomiálními a dalšími vazbami. Speciální případ lineární funkce -- lineární programování. | 17 | 30.11. |
|
5.12.Extrémy funkcí na množinách v rovině se (zakřiveným) okrajem zadaným jednou vazbou: (B) metoda jacobiánu pro dvě proměnné. (C) Metoda Lagrangeových multiplikátorů pro dvě proměnné, příklady a porovnání s metodou
Jacobiánu. Minitest 6.12.: Stacionární body funkce dvou proměnných. |
18 | 5.12. |
| 7.12. Metoda Lagrangeových multiplikátorů pro více proměnných a více vazeb, příklady. | 19 | 7.12. |
|
12.12. Další příklady na metodu Lagr. mult. Determinant matice 3x3. Metoda Jacobiánu pro případ 3 proměnných a 2 vazeb.
Minitest 13.12.: Metoda jacobiánu / Lagr. mult pro dvě proměnné. |
20 | 12.12. |
| 14.12. Metoda jacobiánu pro tři proměnné. Porovnání metod jacobiánu a LM. Doplňky: Význam Lagrangeova multiplikátoru - stínová cena. Pojem mezní veličiny, bodová elasticita, homogenní funkce, Cobb-Douglasova produkční funkce. | 21 | 14.12. |
|
Závěrečné informace:
1. Obsah Závěrečného testu. 2. Zde jsou kompletní testy z předchozích semestrů (zadání, bez řešení). Milí studenti, děkuji vám za pozornost a za vaše zaujetí pro studium, a přeju vám hodně štěstí u zkoušek. Děkuji také Tereze Vanišové za neúnavné a pečlivé skenování přednášek. |