Cvičení k přednášce  MMA - (říjen 2012):

Cvičení 1 (3. 10. 2012): Zaměněno za přednášku, v průběhu r. 2012 dojde ke "zpětné záměně".  

Cvičení 2 (10. 10. 2012): V přednášce jste se seznámili s příklady metrických prostorů (MP) a normovaných lineárních prostorů (NLP), jejichž metrika je popsána pomocí normy. Zde naleznete příklady na procvičení této látky, které jsme již probrali, a také další příklady k rozmyšlení. Zabývali jsme se metrikou, normou a skalárním součinem. Příklady (*.pdf - 82 kB) 

Cvičení 3 (17. 10. 2012): Sup-norma jako limita norem v l^p_n. Zobecnění přístupu k Minkovskiho nerovnosti přes Schwarzovu nerovnost. Hölderova nerovnost (důkaz přes konvexitu funkce -log). Metrika v R \sigma(x,y) = |x - y|/(1+|x-y|) a zobecnění na případ obecného MP.  Zde je látka z MP ve dvou kapitolách mých skript: MP1 - 1 Mb a MP2 - 350 kB

Cvičení 4 (24. 10. 2012): Základní informace o topologii. Metrika na součinu MP, různé možnosti. Ekvivalence norem a ekvivalence metrik. Ekvivalence speciálních norem na R^m. "Silná" ekvivalence a ekvivalence MP. Metrika na prostoru s, tuto metriku nelze generovat normou. Husté podmnožiny R. Vzájemně disjunktní husté podmnožiny R.

Cvičení 5 (31. 10. 2012): Vysvětlení podstaty metody kategorií - "malá množina ve velké množině". Ilustrace na příkladu existence iracionálního čísla. Metodou kategorií dokázána existence funkce f \in C([ a, b ]), která není monotónní na jakémkoli intervalu
[ c, d ]\subset [ a, b ]. Důkaz existence funkce f \in C([ a, b ]), která nemá v žádném bodě vlastní jednostrannou derivaci (jen část). Viz odkaz  MP2, str. 381.

Následující komentáře ke cvičením: (listopad 2012, prosinec 2012, leden 2013)