MJ

Úvod do funkcionální analýzy (NMMA331p) - přednáška

Texty k přednášce: verze k tisku, prezentace. Poslední úprava 2.12.2023.
Skripta.
1. přednáška (3.10.2023) - norma, spojitost vektorových operací, příklady Banachových prostorů
2. přednáška (6.10.2023) - příklady Banachových prostorů, podprostory; ekvivalentní normy, konvexní a symetrické množiny, lineární a konvexní obaly, uzavřenost součtu množin
3. přednáška (10.10.2023) - uzavřenost součtu uzavřeného a konečněrozměrného podprostoru, řady v normovaných lineárních prostorech, zobecněné řady
4. přednáška (13.10.2023) - zobecněné řady; lineární zobrazení
5. přednáška (17.10.2023) - spojitá lineární zobrazení
6. přednáška (20.10.2023) - lineární funkcionály; izomorfismy a izometrie; rozšiřování spojitých lineárních zobrazení
7. přednáška (24.10.2023) - konečněrozměrné prostory; operace s Banachovými prostory - součin
8. přednáška (27.10.2023) - operace s Banachovými prostory - faktorprostor; projekce, kodimenze, topologický součet
9. přednáška (31.10.2023) - Hilbertovy prostory - vlastnosti skalárního součinu, součet Hilbertových prostorů, kolmost
10. přednáška (3.11.2023) - Hilbertovy prostory - promítání na uzavřené konvexní množiny, ortogonální projekce, rozklad na ortogonální doplňky, ortonormální soustavy a báze - úvod
11. přednáška (7.11.2023) - Hilbertovy prostory - ortonormální soustavy, Besselova nerovnost, ortonormální báze
12. přednáška (10.11.2023) - Fischerova-Rieszova věta, duál k Hilbertovu prostoru; Hahnova-Banachova věta
13. přednáška (14.11.2023) - Hahnova-Banachova věta a její důsledky, oddělovací věty, projekce na konečněrozměrné podprostory a podprostory konečné kodimenze
14. přednáška (21.11.2023) - anihilátory; reprezentace duálů k c₀, 𝓁_p, L_p
15. přednáška (24.11.2023) - náznak důkazu reprezentace duálu k L_p, duál k součinu prostorů, Rieszova věta o reprezentaci pro nezáporné funkcionály
16. přednáška (28.11.2023) - Rieszova věta o reprezentaci, duál k podprostoru a k faktorprostoru; druhý duál, kanonické vnoření
17. přednáška (1.12.2023) - zúplnění; reflexivita, vlastnosti reflexivních prostorů
18. přednáška (5.12.2023) - reflexivní prostory - příklady; princip stejnoměrné omezenosti, věta o otevřeném zobrazení

Úvod do funkcionální analýzy (NMMA331x) - cvičení

Úlohy ke cvičení. Poslední úprava 13.11.2023. Nápovědy.
1. cvičení (3.10.2023) - různá jednoduchá užitečná tvrzení
2. cvičení (10.10.2023) - uzávěry, vnitřky, konvexita, separabilita
3. cvičení (17.10.2023) - separabilita; rozšiřování stejnoměrně spojitých zobrazení
4. cvičení (24.10.2023) - podprostory, vzdálenost od podprostoru
5. cvičení (31.10.2023) - lineární funkcionály a jejich normy
6. cvičení (7.11.2023) - lineární funkcionály a jejich normy
7. cvičení (14.11.2023) - Hilbertovy prostory
8. cvičení (21.11.2023) - lineární operátory - normy, jádro, obraz, izomorfismy
9. cvičení (28.11.2023) - lineární operátory - normy, jádro, obraz, izomorfismy
10. cvičení (5.12.2023) - anihilátory a dualita; úplnost ve větě o otevřeném zobrazení; kompaktnost a relativní kompaktnost

Několik užitečných rad a odpovědí na často kladené otázky.
Odpovědi na některé připomínky studentů IES ke kurzům matematiky.
Co byste měli určitě umět předtím, než začnete studovat vysokoškolskou matematiku. Co se týče požadavků pro IES FSV, poslední dva body (analytická geometrie a komplexní čísla) jsou potřeba až ve druhém, resp. třetím semestru.

Pár zajímavostí:

Důkazy nerovností pomocí metody Lagrangeových multiplikátorů.
Shrnutí základních vět z teorie Fourierových řad.
Rozpracované poznámky ke Kuhnovým-Tuckerovým podmínkám.