David Stanovský
//
|
|
PROSEMINÁŘ Z ALGEBRY 2020/21
|
Proseminář z algebry (NMAG261) je doporučen souběžně s úvodním kurzem Algebry (NMAG206) pro 2. ročník. Bude obsahovat různá témata prohlubující, doplňující a rozšiřující probíranou látku - teorii i aplikace.
Proseminář je doporučen všem studentům, kteří se v dalším studiu setkají s algebrou (tj. zejména studenti struktur a MIT), a také těm, kteří zatím váhají s výběrem oboru a rádi by se dozvěděli, čím se zabývá současná matematika.
Stručný program:
Vysvětlíme si motivaci a základní principy několika navazujících disciplín (algebraická geometrie, algebraická topologie, algebraická teorie čísel), ukážeme si vybrané aplikace (samoopravné kódy, šifry, design experimentů),
doplníme příklady k přednášce (volné grupy, grupy na eliptických křivkách, vzorce na řešení polynomiálních rovnic), ke konci možná využijeme čas na doplnění některých zajímavých, ale těžších důkazů, které se nestihnou na přednášce.
V průběhu semestru shlédneme videopřednášku Kena Ribeta (Berkeley), jednoho ze spolutvůrců důkazu velké Fermatovy věty.
Předběžný plán / Průběžně aktualizovaný program přednášky:
| téma | doporučené čtení a koukání | domácí úlohy |
1.3. | Quo vadis mathematica. |
video přednášky
$1M problems, Fieldsovy medaile,
historie algebry
|
|
8.3. | Kvaterniony, oktoniony a dál? Kvaterniony, rotace a jiné Lieovy grupy. |
video přednášky kniha John Stillwell: Naive Lie Theory, kap. 1-2 |
kvíz 1, výsledky |
15.3. | Vícenásobné kořeny polynomů a derivace (nejen reálných polynomů). |
video přednášky skripta Algebra, sekce 2.5 |
|
22.3. | Konečná tělesa v kombinatorice a statistice: Vzájemně ortogonální latinské čtverce a design experimentů. |
video přednášky
skripta Algebra pro informatiky, sekce 9.4
latinské čverce na wikipedii, Dobble |
DÚ 1 do 5.4. |
29.3. | Úvod do samoopravných kódů. |
video přednášky
skripta Barto-Tůma, sekce 5.8, Hammingův kód na wiki |
|
5.4. | ---- velikonoce ---- (detektivka na večer) |
(video + komentář k videu) |
|
12.4. | Konečná tělesa v informatice: šifra AES, Reed-Solomonovy kódy. |
video úvod, AES, RS
skripta Algebra pro informatiky, sekce 9.1, 9.3
wikipedia: Reed-Solomonovy kódy |
|
19.4. | Úvod do algebraické geometrie: Bézoutova věta, grupová operace na eliptických křivkách. |
video Bézout 1, Bézout 2, el. křivky / slajdy
wikipedia: Bézoutova věta, eliptické křivky
přehledový článek o grupách na eliptických křivkách
| DÚ 2 do 26.4. |
26.4. | Cyklické grupy, diskrétní logaritmus a kryptografie. Maticové reprezentace grup (základní myšlenka). |
video + zápisky
úvodní slovo +
video + komentář k videu |
DÚ 3 do 10.5. |
3.5. | Ken Ribet: důkaz velké Fermatovy věty. |
video + komentář k videu |
kvíz 2, výsledky |
10.5. | Volné grupy a prezentace grup. |
video + komentář + zápisky |
|
17.5. | Copánková grupa. Úvod do teorie uzlů. |
video přednášky, obrázkové video, starý komentář
video + komentář |
|
24.5. | Úvod do algebraické topologie: fundamentální grupy, Poincarého domněnka |
video přednášky |
DÚ 4 do 6.6. |
31.5. | Od Cardanových vzorců ke Galoisovým grupám |
video přednášky |
--- |
Další doporučené kurzy pro druhý ročník, kde najdete využití algebry, jsou Teorie čísel a Úvod do kryptografie.
Zápočet z prosemináře: (definitivní verze)
V průběhu semestru budou zadány dva kvízy (4 otázky po bodu) a čtyři sady písemných domácích úloh (po 20 bodech). Kvízy vyplňuje každý sám, písemné úkoly můžete odevzdávat po dvojicích (v takovém případě odevzdávejte jedno řešení se dvěma podpisy a každý musí sepsat řešení aspoň jedné úlohy).
Nejhorší sada se škrtá, ke třem sadám se přičítá počet bodů z kvízů (maximum je tedy 68 bodů). Na zápočet musíte získat aspoň 45 bodů. Pokud někomu bude chybět malé množství bodů na zápočet, zadám individuálně náhradní sadu.
body z domácích úloh.
|