Funkcionální analýza 2Informace ve Studijním informačním systému Obsah přednášky, předpokládané znalosti a návaznost
Program jednotlivých přednášek a cvičení Informace ke zkouškám (předběžná verze) |
Obsah přednášky, předpokládané znalosti a návaznost na další předmětyPředmět Funkcionální analýza 2 je pokročilý kurz určený zejména pro magisterské studenty matematická analýzy. Tento předmět navazuje na kurz Funkcionální analýza 1 (NMMA401), který je též pokročilým kurzem magisterského studia a na bakalářský kurz Úvod do funkcionální analýzy (NMMA331). Obsah přednášky Základním tématem kurzu je spektrální teorie pro prvky Banachových algeber a pro operátory na Hilbertově prostoru. Obsah je rozdělen do čtyř kapitol:
K prvnímu tématu: Teorie Banachových algeber je abstraktní teorie zahrnující algebry omezených operátorů (zobecňuje mj. oddíl III.6 z Úvodu do funkcionální analýzy), algebry spojitých funkcí a konvoluční algebry. Kromě základních vlastností spektra se budeme věnovat funkčnímu kalkulu (ten umožňuje prvky algebry dosazovat do holomorfních funkcí) a Gelfandově transformaci (která dává reprezentaci některých komutativních algeber a zároveň zobecňuje Fourierovu transformaci a Fourierovy řady). K druhému tématu: C*-algebry jsou významnou podtřídou Banachových algeber, zahrnují algebry omezených (nebo kompaktních) operátorů na Hilbertově prostoru a také algebry spojitých funkcí. Ukážeme si speciální vlastnosti spektra a homomorfismů C*-algeber a také spojitý funkční kalkulus (který umožňuje některé prvky dosazovat do spojitých funkcí, k čemuž využívá Gelfandovu transformaci z prvního tématu). K třetímu tématu: Soustředíme se na neomezené operátory - definice, základní vlastnosti, spektrum a pojem adjungovaného operátoru. Neomezené operátory jsou lineární operátory, které nemusí být spojité ani definované na celém prostoru. K důležitým příkladům patří diferenciální operátory. Ke čtvrtému tématu: Začneme měřitelným kalkulem pro normální operátory, což je zobecnění spojitého kalkulu z druhého tématu, které umožňuje normální operátory dosazovat do funkcí, které jsou vhodným způsobem měřitelné. S využitím měřitelného kalkulu si ukážeme spektrální rozklad normálních operátorů, který lze považovat za zobecnění Hilbert-Schmidtovy věty (z oddílu III.7 z Úvodu do funkcionální analýzy) na nekompaktní operátory. Bude následovat zobecnění pro některé neomezené operátory. Přitom poslední dva oddíly není v plánu podrobně probírat, jsou zařazeny hlavně pro možné zájemce. Předpokládané znalosti Jelikož jde o pokročilý matematický kurz, pro jeho smysluplné studium je potřeba dobrá znalost řady partií matematiky. Nejvýznamnější jsou následující:
A co dál? Funkcionální analýze a jejím aplikacím se věnuje řada dalších kurzů, např. tyto:
|