Numerická a výpočtová matematika- SZZ

Informace uvedené na této stránce se týkají pouze nové akreditace (počátek studia v roce 2013 nebo později.)

Student dostane po jedné otázce z tématických okruhů 1 a 2, zvolí si jednu z variant tématického okruhu 3 (3A, 3B nebo 3C) a ze zvolené varianty dostane třetí otázku. Jedné otázce bude věnováno přibližně 20 minut. Rozpis jednotlivých okruhů je uveden níže, jejich obsah je zcela pokryt povinnými a povinně volitelnými předměty uvedenými ve studijním plánu. Při hodnocení zkoušky je kladen důraz na porozumění dané problematiky v širších souvislostech.

1. Matematická a funkcionální analýza

(Společný tématický okruh)

Parciální diferenciální rovnice: Sobolevovy prostory: definice a základní vlastnosti, věty o vnoření, věty o stopách. Slabá řešení lineárních a nelineárních eliptických rovnic 2. řádu: existence a jednoznačnost řešení, regularita. Bochnerovy prostory: definice a základní vlastnosti. Lineární parabolické rovnice 2. řádu: existence a jednoznačnost slabého řešení. Hyperbolické problémy 2. řádu: existence a jednoznačnost slabého řešení, konečná rychlost šíření signálu. Nelineární parabolické rovnice 2. řádu: existence a jednoznačnost slabého řešení.

Funkcionální analýza: Nutné a postačující podmínky pro řešitelnost abstraktní lineární variační úlohy v Banachových prostorech. Spektrální analýza spojitých lineárních operátorů v Banachových prostorech a symetrických kompaktních operátorů v Hilbertových prostorech. Rozklad identity příslušný samoadjungovanému operátoru. Vlastnosti monotónních operátorů, základní vztahy mezi těmito vlastnostmi, věty o existenci řešení nelineární operátorové rovnice, základní aplikace na nelineární diferenciální rovnice.

2. Numerické metody

(Společný tématický okruh)

Metoda konečných prvků Galerkinova metoda pro řešení abstraktní lineární eliptické rovnice. Odhad chyby Galerkinovy metody - Ceovo lemma. Definice abstraktního konečného prvku, unisolventnost, afinní ekvivalence. Jednoduché příklady konečných prvků Lagrangeova a Hermiteova typu. Teorie aproximací v Sobolevových prostorech: aproximační vlastnosti operátorů zachovávajících polynomy. Aplikace těchto výsledků pro prvky Lagrangeova a Hermiteova typu. Odvození řádu konvergence přibližných řešení konkrétních eliptických úloh 2. řádu.

Základní maticové iterační metody Schurova věta a její důsledky. Ortogonální transformace, QR rozklad. Gaussova eliminace, LU rozklad (včetně pivotace), Choleského rozklad a jejich numerická stabilita. Singulární rozklad. Metody řešení problému nejmenších čtverců. Částečný problém vlastních čísel - Arnoldiho a Lanczosova metoda. Lineární stacionární iterační metody. Metoda sdružených gradientů (CG), předpodmínění.

Metody pro řešení soustav nelineárních algebraických rovnic Newtonova metoda a její modifikace, kvazinewtonovské postupy, aproximace pomocí sečen. Lokální a globální konvergence Newtonovy metody. Kombinované postupy - spojení Newtonovy metody s metodou na řešení soustav lineárních algebraických rovnic, kontinuační metody. Základní algoritmy a konvergence.

Základy implementace numerických metod principy adaptivních metod, adaptivní numerická kvadratura, adaptivní volba časového kroku pro řešení obyčejných diferenciálních rovnic.

3. Užší zaměření

Výběr tématického okruhu z variant 3A, 3B, 3C

3A. Průmyslová matematika

Matematické metody v mechanice tekutin: Základní rovnice mechaniky tekutin, existence a jednoznačnost slabého řešení Stokesova problému, Oseenova problému, stacionárních a nestacionárních Navierových-Stokesových. Metoda konečných prvků pro řešení vazkého nestlačitelného proudění: Babuškova-Brezziho podmínka, diskretizace Stokesova problému, diskretizace stacionárního Navierova-Stokesova problému, numerické řešení nestacionárního proudění. Vlastnosti Eulerových rovnic pro stlačitelného proudění, metoda charakteristik pro lineární skalární rovnice, Cauchyho úloha pro Burgersovu rovnici. Metoda konečných objemů, odvození základního schématu, numerický tok, jeho konstrukce a vlastnosti.

Metody materiálové optimalizace: Abstraktní formulace úloh tvarové optimalizace a jejich diskretizací. Existence řešení, konvergenční analýza. Aplikace těchto výsledků na úlohu optimalizace tloušťky nosníků, dále na úlohy tvarové optimalizace pro eliptické rovnice 2. řádu s Dirichletovou a Neumannovou okrajovou podmínkou. Analýza citlivosti, materiálová a tvarová derivace, adjungovaný stav. Nutné podmínky optimality. Použití metod tvarové optimalizace k numerickému řešení úloh s volnou hranicí.

Metody řešení evolučních rovnic: Metoda konečných prvků pro evoluční problémy: prostorová semidiskretizace, implicitní a explicitní schémata. Stabilita a odhady chyby.

3B. Numerická analýza

Nelineární diferenciální rovnice: Nelineární diferenciální rovnice v divergentním tvaru, Carathéodoryho růstové podmínky, Němyckého operátor. Variační metody a aplikace teorie monotónních a potenciálních operátorů pro důkaz existence řešení. Numerické řešení nelineárních diferenciálních rovnic pomocí abstraktní numerické metody. Existence řešení, stabilita, konzistence, konvergence numerické metody založené na Galerkinově aproximaci.

Numerické metody pro obyčejné diferenciální rovnice: Počáteční úloha pro ODR. Jednokrokové metody: analýza konvergence, adaptivní volba délky integračního kroku, metody typu Runge-Kutta. Vícekrokové metody: lineární vícekroková metoda, metody typu prediktor-korektor. Dynamické systémy: asymptotika časového vývoje, A-stabilita stacionárního řešení, Lyapunovova věta. Dynamické systémy s diskrétním časem. A-stabilita metody: "stiff" problémy, A-stabilní metody.

Numerické řešení úloh konvekce-difuze: Metody stabilizace diskretizací rovnic konvekce-difuze získaných konformní metodou konečných prvků. Odhady chyby přibližného řešení pro metodu SUPG a metodu lokálních projekcí. Volba stabilizačních parametrů. Diskretizace rovnic konvekce-difuze pomocí nespojité Galerkinovy metody, apriorní odhady chyby.

3C. Maticové výpočty

Metody Krylovovských podprostorů: Soustavy se symetrickou a symetrickou pozitivně definitní maticí (Lanczosova metoda, SYMMLQ, MINRES). Soustavy s nesymetrickou maticí - metody založené na dlouhých rekurencích (FOM, GMRES) resp. krátkých rekurencích (BiCG, QMR). Metody odvozené z normálních rovnic (CGLS) a z Golub-Kahanovy iterační bidiagonalizace (LSQR).

Projekce a problém momentů: Projekční proces a problém momentů. Maticová formulace a souvislost s formulací prostřednictvím ortogonálních polynomů, Gauss-Christofelova kvadratura.

Souvislost spektrální informace a konvergence: Spektrální rozklad operátorů a matic. Invariantní podprostory a spektrální informace, normalita. Konvergence iteračních metod.

Přímé metody pro řídké matice: Řídké matice, jejich modelování grafy. Grafová interpretace Choleského faktorizace a LU rozkladu. Souvislost přímých metod s neúplnými maticovými rozklady a jejich použití pro předpodmiňování soustav rovnic. Řídká QR faktorizace a řídké rozklady indefinitních matic. Implementace přímých řešičů. Srovnání přímých a iteračních metod pro řešení lineárních algebraických soustav.

Last modified: Thu Dec 22 23:15:45 CET 2016